正三角形に一本の線を引いて

問題です。
正三角形$${ABC}$$の辺$${BC}$$上に点$${D}$$を取る。$${\overline{BD}=p、\overline{CD}=q、\overline{AD}=r}$$
とした時、三辺の長さが$${p,q,r}$$である三角形は、どのような三角形か？

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点$${D}$$の位置は指定されていない。その上「どのような三角形か？」とはどのような意味か？
点$${D}$$の位置に関わりなく、一定の特徴があるので、それを答えよ、ということなのだろうか？

$${・　・　・　・　・　・}$$

解答者が最初に考えるであろう疑問を想定してみました。
漠然とした問題を出題した理由は、すぐに明らかになります。

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取りあえず、手を動かしてみましょう。
正三角形$${ABC}$$の一辺は、$${p+q}$$。
三角形$${ABD}$$は角$${B}$$が60度なので、余弦定理より、
$${(p+q)^2+p^2-2(p+q) p \cos (π/3)=r^2}$$
→
$${(p+q)^2+p^2-(p+q) p=r^2}$$
→
$${p^2+q^2+pq=r^2}$$
あれ、答えが見えてしまいましたね。
$${p^2+q^2-2pq \cos (2π/3)=r^2}$$
ということです。つまり、「辺長$${r}$$の対角は常に120度」

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前回は、三辺が整数で、一つの角が90度であるような三角形の整列について書きました。次は、三辺が整数で、一つの角が60度か120度であるような三角形の整列について書こうと考えています。

正三角形に、一本の線を引いた図形。そこに現れる四つの数字、

$${\{p,q,r,p+q\}}$$

この中から三つを選んで、三角形を作ると、60度か120度か180度の角度が現れます。つぶれた三角形は除いて、三辺が$${(p+q,p,r),(p+q,q,r),(p,q,r)}$$である三つの三角形は、セットにして整列するのが良さそうですね。

「ナゴヤ」で知られる60度の角度を持つ三角形は、{3,5,7,8}のセットに属しています。

今日はここまで。小出しにして、連続投稿日数を稼いでみます。

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