数学科入学前に知っておきたい「行列」の基本

行列について

以前、高校数学では「行列」という単元がありました。
高校３年生で扱っていた数学Cという科目で習っていました。
しかし、2022年現在は「行列」を高校で習うことはありません。
学習指導要領の改訂で、2012年度から「行列」は外されてしまいました。

ただ、この「行列」は大学以上の数学ではかなり登場してきます。
主に線形代数や代数学で使います。

今の数学科に進む高校生は「行列」を全く知らないまま入学します。
大学に上がって慣れない証明の言葉を扱うだけでなく、
「行列」という未知の数式にも立ち向かわないといけません。

以前、大学時代にお世話になった数学科の教授によると
「全く行列を知らない１年生にそれを教えるのは骨が入る」とのこと。
高校２年で「ベクトル」に出会ったときのように
「行列」に出会ったときの抵抗感を感じる大学生は少なくないようです。

そこで、この記事では「行列」の基礎的な部分をまとめて説明したいと思います。
ぜひ参考にしてくださいね。

行列（matrix）

下記のように数や文字を並べて、括弧で囲んだものを行列といいます。

$$
\begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1  \\
5  \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
9 & -4 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 \\
2 & 4 & 6 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
$$

これらのそれぞれの数や文字のことを成分といい、
横の並びを行、縦の並びを列と呼びます。
行は上から第１行，第２行，・・・と言い
列は左から第１列，第２列，・・・と言います。
$${m}$$個の行と$${n}$$個の列からなる行列を$${m}$$行$${n}$$列の行列、または$${m×n}$$行列といいます。
特に、行と列の個数が等しい$${n×n}$$行列をn次の正方行列といいます。

例えば$${\begin{pmatrix}2 & 3 \\9 & -4 \\ \end{pmatrix}}$$は$${2×2}$$行列，$${\begin{pmatrix}1 & 3 & 5 \\2 & 4 & 6 \\ \end{pmatrix}}$$は$${2×3}$$行列になります。

行列は$${A,B}$$など大文字で表し、成分は小文字で表すことが多いです。
第$${i}$$行と第$${j}$$列の交点にある成分を$${(i,j)}$$成分といい、$${a_{ij}}$$と表します。

$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
$$

また、行列$${A,B}$$の行の個数と列の個数がそれぞれ一致し、
対応する成分がそれぞれ等しいとき、行列$${A}$$と$${B}$$は等しいといい、$${A=B}$$と書きます。

例えば、2次の正方行列の場合は以下のようになります。

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s \\
\end{pmatrix}
\iff
a=p,  b=q,  c=r,  d=s
$$

※行の個数と列の個数がそれぞれ一致する行列は同じ型といいます。

行の加法、減法

では行列同士の計算方法についてまとめていきます。
同じ型の行列同士で加減の計算ができます。
加減の計算は対応する成分をそれぞれ足し引きすることになります。

加法

加法については例えば以下のような計算になります。

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a+p & b+q \\
c+r & d+s \\
\end{pmatrix}
$$

また行列$${A}$$に対して、$${A}$$の各成分の符号を変えた行列を$${-A}$$で表します。

$$
A=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
のとき　
-A=
\begin{pmatrix}
-a & -b \\
-c & -d \\
\end{pmatrix}
$$

さらに$${\begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\0\\ \end{pmatrix},}$$のような成分が全て0の行列を零行列と呼び、$${O}$$と表します。
同じ型の行列の加法で以下の性質が成り立ちます。

$$
\begin{array}{ll}
(1)   A+B=B+A：交換法則\\
(2)   (A+B)+C=A+(B+C)：結合法則\\
(3)   A+(-A)=O,  A+O=A
\end{array}
$$

減法

減法については2次正方行列の差は以下になります。

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a-p & b-q \\
c-r & d-s \\
\end{pmatrix}
$$

成分同士で足し引きをするのが少々面倒ですが、基本的には普通の数字の加減と同じような感覚ですね。

行列の実数倍

実数$${k}$$に対して、行列$${A}$$の各成分の$${k}$$倍を成分とする行列を$${kA}$$と表します。例えば2次の正方行列の場合は以下になります。

$$
kを実数とするとき　
k
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ka & kb \\
kc & kd \\
\end{pmatrix}
$$

また、行列の実数倍については以下の計算法則が成り立ちます。
（行列$${A,B}$$は同じ型の行列とします。）

$$
\begin{array}{ll}
(1)   k(lA)=(kl)A \\
(2)   (k+l)A=kB+lC \\
(3)   k(A+B)=kA+kB
\end{array}
$$

行列の乗法

行ベクトルと列ベクトルの積

2次の行ベクトルと列ベクトルの積は以下のように定められています。

$$
\begin{pmatrix}
a & b 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p \\
r  \\
\end{pmatrix}
=ap+br
$$

一般に、m次の行ベクトルと列ベクトルの積は以下になります。

$$
\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & \cdots & a_m 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m \\
\end{pmatrix}
=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_mb_m
$$

行列の積

次に2次の正方行列$${A=\begin{pmatrix}a & b \\c & d \\ \end{pmatrix},  B=\begin{pmatrix}p & q \\r & s \\ \end{pmatrix}}$$の積は$${AB}$$と書き以下のような計算になります。

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ap+br & aq+bs \\
cp+dr & cq+ds \\
\end{pmatrix}
$$

また2×2行列と2次の列べくとる、2次の行ベクトルと2×2行列の積はそれぞれ以下のように定義されます。

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p \\
r \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ap+br \\
cp+dr \\
\end{pmatrix},  
\begin{pmatrix}
a & b \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ap+br & aq+bs \\
\end{pmatrix}
$$

行列の乗法の性質

行列の乗法は以下のような法則が成り立ちます。

$$
\begin{array}{ll}
(1)   (kA)B=A(kB)：ただしkは実数 \\
(2)   (AB)C=A(BC)：結合法則 \\
(3)   (A+B)C=AC+BC,  A(B+C)=AB+AC：分配法則
\end{array}
$$

単位行列と零行列

次に単位行列と零行列についてです。
$${\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}}$$のように、$${n}$$次の正方行列で対角線上にある$${(1,1)成分，(2,2)成分，\cdots，(n,n)成分}$$がすべて1で、それ以外の成分がすべて0である行列を$${n}$$次の単位行列といいます。
また、すべての成分が0の正方行列を零行列といいます。
単位行列は実数の掛け算で3×1=3と掛けたものが変わらない1に当たるもので、零行列は実数の0に当たるようなものと思うと良いでしょう。

$${A}$$を任意の正方行列とし、$${A}$$と同じ次数の単位行列を$${E}$$、零行列を$${O}$$とする。
$${(1)  AE=EA=A　(2)  AO=OA=O}$$

正方行列の乗法は交換法則が一般に成り立たない

実数の乗法では2×3=6, 3×2=6のように交換法則が成り立ちます。
しかし正方行列の乗法では必ずしも交換法則が成り立つとは限りません。

例１）
$${A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\0 & 0 \\ \end{pmatrix},  B=\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & 1 \\ \end{pmatrix}}$$の場合

$$
AB=\begin{pmatrix}1 & 1 \\0 & 0 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & 1 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 \\0 & 0 \\ \end{pmatrix}\\
BA=\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\0 & 0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & 1 \\ \end{pmatrix}
$$

ただ、行列によっては交換法則が成り立つ組み合わせのものもあります。

例２）
$${A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\0 & 2 \\ \end{pmatrix},  B=\begin{pmatrix}5 & 2 \\0 & 7 \\ \end{pmatrix}}$$の場合

$$
AB=\begin{pmatrix}1 & 1 \\0 & 2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 & 2 \\0 & 7 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 9 \\0 & 14 \\ \end{pmatrix}\\
BA=\begin{pmatrix}5 & 2 \\0 & 7 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\0 & 2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 9 \\0 & 14 \\ \end{pmatrix}
$$

このように交換法則が成り立つ場合、行列$${A,B}$$は交換可能であるという。

最後に

長くなりましたので、まずは行列とは何か＆基本的な計算方法までまとめてみました。
ケーリー・ハミルトンの法則や逆行列などまだ行列に関する楽しい性質もあるので今後もまとめていきたいです。