実数と絶対値

実数

実数とは大きく分けて有理数と無理数に分かれます。
さらに有理数は整数、無限小数などに枝分かれします。

自然数　1,2,3…
整数　　0,±1,±2,±3,…
有理数　$${\frac{m}{n}}$$(m,nは整数で$${n\neq0}$$)

これらの数は感覚的に分かりやすいですが、
実数とは何かと言われると上手くイメージできないかもしれません。
まずは以下のような理解でイメージしておくと良いです。

有理数を大きさの順に一直線に並べたとき"隙間"ができる。
その隙間をすべて埋めた全体を実数という。

そして「隙間をすべて埋めた」＝「連続性」というイメージです。

絶対値

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定義：絶対値
すべての実数$${a}$$に対して$${a}$$の絶対値$${|a|}$$を以下で定義する.

$$
|a|=\left\{
\begin{array}{ll}
a & (a \geq 0)\\
-a & (a < 0)
\end{array}
\right.
$$

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絶対値に関して次の有名な命題が成り立ちます。

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命題
実数$${a,b}$$に対して以下が成り立つ.

$$
\begin{array}{ll}
(i).    |a|\geq a \\
(ii).   |a|\geq -a \\
(iii).  |a+b|\leq |a|+|b| （三角不等式）
\end{array}
$$

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（証明）

(i)の証明 
$${a\geq0}$$のときは定義より$${|a|=a\geq a}$$となる. 
また$${a<0}$$の時も同様に 
定義より$${|a|=-a>0>a}$$である. 
したがって $${|a|\geq a}$$となることが示された. 

(ii)の証明
$${a\geq0}$$の時は定義より$${|a|=a\geq 0\geq-a}$$となる.
また$${a<0}$$のとき
定義より$${|a|=-a\geq-a}$$
したがって$${|a|\geq -a}$$が示された.

(iii)の証明
$${|a+b|\geq0}$$のとき
定義より$${|a+b|=a+b}$$.
ここで(i)より$${|a|\geq a, |b|\geq b}$$なので$${a+b \leq |a|+|b|}$$.
よって$${|a+b|\leq |a|+|b|}$$.
また$${|a+b|\leq0}$$のとき
定義より$${|a+b|=-(a+b)}$$.
ここで(ii)より
$${-a \leq |a|, -b \leq |b|}$$なので$${-(a+b) \leq |a|+|b|}$$.
よって，$${|a+b|\leq |a|+|b|}$$.
以上よりa,bが実数のとき題意が成り立つ.

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