紙を三等分に折る

今日は友人に教えてもらったことを投稿しようと思います！
最後まで読んでくださると嬉しいです！！

みなさんは以下のようなことを思ったことはないでしょうか。

書類を3つ折りにして封筒に入れることをしたことがある人は多いと思います。そのときに、「きっちり三等分で折りたいなー」みたいなことを思ったことはないでしょうか？
(気にしない方が多そうww)

今日はその方法についてお話ししようと思います！！

長方形を三等分にするやり方

1. まず紙を半分に折って、折り目EFをつけて元に戻す。

2. 対角線上に紙を折って、折り目ACをつけて元に戻す。

3. 長方形ABFEにおいて対角線BE上に紙を折って折り目をつけて元に戻す。このとき、ACとBEとの交点Gが出来る。

4. 図のように点Gで紙を折る。

5. さらに、図のようにABでもう一回折る。

6. 完成!!

必要な知識(相似)

相似とは

2つの図形が相似とはざっくり言うと、大きさを違うけど形が同じであること。

三角形の相似条件

1. 三組の辺の比はそれぞれ等しい

2. 二組の辺とその間の角はそれぞれ等しい

3. 二組の角がそれぞれ等しい

ピラミッド型と蝶々型の相似

線分BCと線分DEは並行とする。このとき、△ABCと△ADEは相似であり、

$$
\text{AB}:\text{AD} = \text{AC}:\text{AE} = \text{BC}:\text{DE}
$$

となる。

三等分になる理由

△GEAと△GBCは相似より、

$$
\text{EA}:\text{BC} = \text{GA}:\text{GC}
$$

となる。

よって、

$$
\text{GA}:\text{GC}=1:2
$$

図のように点Gを通り線分ADに並行な線分HIを引く。

さらに、△GAHと△GCAは相似なので、

$$
\text{GA}:\text{GC} = \text{GH}:\text{GI}
$$

となる。
よって、

$$
\text{GH}:\text{GI} = 1:2
$$

以上のことから

$$
\text{HG} = \frac{1}{3}\text{HI}
$$

となる。

一般的に

同じように考えると、長方形の紙を$${n}$$当分することができる。

これを示すためには数学的帰納法を用いることによって示すことができる。

2等分は長方形を半分に折ることにより出来る。
3等分は上のように折っていくと出来る。

3等分が出来るなら4等分ができる?
4等分ができるなら5等分ができる?
・・・
$${n-1}$$等分ができるなら$${n}$$等分ができる?

これからこのことを示していく。

---

図のように長方形の紙が$${n-1}$$等分できたと仮定する。すなわち、

$$
\text{AE}:\text{AD} = 1:n-1
$$

後は3等分のときと同じようにする。

△GEAと△GBCは相似より、

$$
\text{EA}:\text{BC} = \text{GA}:\text{GC}
$$

となる。

よって、

$$
\text{GA}:\text{GC}=1:n-1
$$

図のように点Gを通り線分ADに並行な線分HIを引く。

さらに、△GAHと△GCAは相似なので、

$$
\text{GA}:\text{GC} = \text{GH}:\text{GI}
$$

となる。

よって、

$$
\text{GH}:\text{GI} = 1:n-1
$$

なので、

$$
\text{HG} = \frac{1}{n}\text{HI}
$$

となる。

---

以上のことから、

3等分ができるなら4等分ができる。
4等分ができるなら5等分ができる。
5等分ができるなら6等分ができる。
・・・

となるので長方形の紙を$${n}$$等分することができる。

最後に

これで、キレイに書類を3等分にして封筒に入れることができますね！！
(折り目まで入れてキレイに3等分したいと思う人はいないかもしれませんが、、、)

今回の記事は、友人とご飯を食べていたとき、最近noteをやっていることを話していいネタないか相談したときに教えてくれた内容です。
なんと、小学生のときに長方形を三等分にすることを思いついたらしい、、、

すげ〜

書く内容のヒントを与えてくれた友人に感謝ですね！！
ありがとう！！！

最後まで読んでくださりありがとうございます。

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