図式で学ぶ量子論 #2 ～CP写像の基礎～
連載の記事一覧：
#1 量子論の数学的構造
#2 CP写像の基礎
#3 確率論としての古典論・量子論（前編）
#4 確率論としての古典論・量子論（後編）
#5 プロセスの表現
番外編 2準位系から多準位系への演繹による拡張は難しい
番外編その2 堀田先生の書籍（中略）演繹的に導けていない
番外編その3 量子もつれ状態と非局所相関について
前回では，量子論の数学的構造を説明しました。量子論を理解するためにはCP写像を十分に理解することが必要です。今回は，CP写像の基礎について説明します。
CP写像の重要性
状態やエフェクトを含むすべてのプロセスはCP写像であり，測定はエフェクトの組ですのでCP写像の組です（測定の厳密な定義は次回示します）。CP写像に慣れれば，量子論の状態や測定などを俯瞰（ふかん）的に考えられるようになります。
有限次元系の量子論の基礎を理解する上で，数学的な話題としてはCP写像が最も難しいといっても過言ではないかもしれません。数学が苦手な方にとっては今回の話は難しいかもしれませんが，重要だと思われる内容に絞って話をします（わからない箇所は適度に読み飛ばしてください）。前回で述べた量子論の話と今回の話を理解できれば，量子論の数学的構造の基礎はおおむね理解できたといってもよいと思います。ただし，いくつかの主要なCP写像に関する知識を増やす必要があるなど，必要に応じて学ぶべきことはまだまだあるとは思います。
標準的な量子論の入門書の多くでは，CP写像については軽く触れられている程度であると思います。その主な理由は，純粋状態やユニタリチャネルといった，ある意味でより基本的であると思われる概念を中心に説明されるためだと思われます。標準的な入門書より一歩進んだことを考えたいときに，CP写像の知識が必要になってくると思います。
一方，この記事では，プロセスを中心的な概念として捉えることで量子論の全体像をわかりやすい形で示すという立場をとっています。このため，早い段階でCP写像が登場します。純粋状態やユニタリチャネルは，あくまでプロセスの特別なものにすぎないと考えます。線形代数では線形写像（つまり行列）を考えることで全体像が見えるようになると思いますが，量子論では線形写像に相当するものがCP写像なのです。個人的には，（特に数学が苦手な方でなければ）はじめにCP写像の基礎をひととおり理解しておくことが，量子論の全体像を把握するための近道になるのではないかと考えています。
CP写像の定義と基本的な性質
$${ \Complex^{n \times n} }$$ から $${ \Complex^{m \times m} }$$ への線形写像のうちある条件を満たすものとして，HP（Hermitian-Preserving，エルミート保存）・正値・CP（Completely Positive，完全正値）が定められます。
HP写像とCP写像については，Choi行列を用いて必要十分条件を簡潔な形で表せます。この必要十分条件により，HP写像とエルミート行列，CP写像と半正定値行列が関係していることがわかります。
図式を用いて先ほどの必要十分条件を表現し直しておきます。これらの必要十分条件はよく用いられます。
HP写像の性質です。なお，$${ \Complex^{n \times n} }$$ は $${ n^2 }$$ 次元複素ヒルベルト空間であり，$${ n }$$ 次正方行列 $${ X }$$ はこの空間の要素（つまり複素ベクトル）とみなせます。この複素ベクトル $${ X }$$ の共役転置が $${ \bra{X} }$$ です。$${ \bra{X} }$$ は $${ \Complex^{n \times n} }$$ の双対空間の要素，つまり $${ \Complex^{n \times n} }$$ から $${ \Complex }$$ への線形写像です。なお，$${ \braket{X|Y} \coloneqq \mathrm{Tr}(X^\dagger Y) }$$ はヒルベルト-シュミット内積（「図式で学ぶ線形代数 #4」を参照）です。
先述の「HP写像の性質」に対応するCP写像の性質です。量子論では，系 $${ n }$$ のエフェクトが $${ \Complex^{n \times n} }$$ から $${ \Complex }$$ へのCP写像で す。このため，系 $${ n }$$ のエフェクトは $${ n }$$ 次半正定値行列で表されます（この写像は全単射です）。
「図式で学ぶ線形代数 #4」で述べたように $${ \mathbf{Her}_n }$$ は $${ n^2 }$$ 次元実ヒルベルト空間であり，$${ \Complex^{n \times n} }$$ から $${ \Complex^{m \times m} }$$ へのHP写像（つまり $${ \mathbf{Her}_{n \to m} }$$ の要素）は $${ \mathbf{Her}_n }$$ から $${ \mathbf{Her}_m }$$ への線形写像と同一視できます。
なお，$${ \Complex^{n \times n} }$$ から $${ \Complex^{m \times m} }$$ への2個の線形写像 $${ f }$$ と $${ g }$$ に対して，$${ f(H) = g(H) ~(\forall H \in \mathbf{Her}_n) }$$ ならば $${ f = g }$$ です。つまり，$${ \Complex^{n \times n} }$$ から $${ \Complex^{m \times m} }$$ への線形写像は，その定義域を $${ \mathbf{Her}_n }$$ に制限したものから一意に定まります。さらに定義域を $${ \mathbf{Pos}_n }$$ に制限したものからも一意に定まります。
CP写像の表現
「図式で学ぶ線形代数 #4」にて行列の格下げの話をしました。行列の格下げと同様に，CP写像の格下げを考えられます。格下げをするとCP写像は行列に写るため，これから述べるように量子論における一連のプロセスを普通の線形代数と同じような感覚で扱えるようになります。なお，Choi行列による表現でもCP写像を行列として表せますが，格下げのほうが図式との相性がよいです。
CP写像の格下げは左右対称の形をしていますので，その片側（ここでは右側とします）を省略しても情報は落ちません。2重化では，このような省略を行います。2重化により，CP写像の格下げを素直に表現できます。
半正定値行列はCP写像の特別な場合とみなせます。逆にいうと，CP写像は半正定値行列の一般化といえます。この関係は，図式を見てもすぐにわかると思います。同様に，HP写像はエルミート行列の一般化といえます。
先ほどのスライドにおいて $${ m = 1 }$$ の場合も示しておきます。量子論のエフェクトはこの形のCP写像です。$${ \mathrm{Tr}(EY) }$$ は $${ \braket{E|Y} }$$ とも表せるため，先述のとおり $${ e }$$ は $${ \bra{E} }$$ と表せます。
量子論では，プロセス（CP写像）を行列として捉え，状態（半正定値行列）を列ベクトルとして捉えると，しばしば見通しがよくなります。一つ前のスライドから，格下げと2重化を用いればこの解釈を素直に図式で表せることがわかります。つまり，量子論の状態を普通の列ベクトルのように表せて，プロセスを普通の行列のように表せます。
CP写像の主な表現として，3通りの表現を示します。これらに本質的な違いはありませんが，表現(2),(3)はCP写像を行列として扱えるので便利なことが多いです。量子論の図式では通常表現(2)を用います。
これらの表現は相互に変換できます。より具体的には，表現(1)→(2)への写像（つまり格下げ）と表現(1)→(3)への写像（つまりChoi行列に写す写像）は，ともに実ヒルベルト空間 $${ \mathbf{Her}_{n \to m} }$$ からある実ヒルベルト空間 $${ \mathbf{V} }$$ への同型写像です。なお，格下げの場合は $${ \mathbf{V} = \{ f_\cup : f \in \mathbf{Her}_{n \to m} \} }$$ であり，Choi行列に写す写像の場合は $${ \mathbf{V} = \{ \mathrm{C}_f : f \in \mathbf{Her}_{n \to m} \} = \mathbf{Her}_{m \otimes n} }$$ です。
CP写像の合成とテンソル積
CP写像の合成やテンソル積はCPです。同様に，HP写像の合成やテンソル積はHPです。
CP写像の合成やテンソル積の図式です。格下げと2重化のおかげで，普通の行列の積・テンソル積と同じ感覚で扱えることがわかります。
トレースを保存するCP写像（TPCP写像）の定義と必要十分条件です。TPCP写像は次回以降で頻繁に登場します。
今回は，CP写像について説明しました。今後は，格下げと2重化による表現を多用します。CP写像は本書の第4章で丁寧に説明していますので，より詳しく知りたい方はご参照ください。
次回では，古典論や量子論に確率の概念を導入し，確率論との対応関係について述べる予定です。
この記事は，書籍「図式と操作的確率論による量子論」の内容の一部を紹介したものです（この記事のほうが詳しく述べている箇所もあります）。
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