[読書メモ]数学は世界を解明できるか
ただのインデックス
天動説
プトレマイオス
地上の現象は天界が支配している → 天界の動きを知ることが国家的に重要
天の気
数学的モデルの構築 → 未来予測
幾何学的性格
2.
閉じたシステム
ほかからの影響がない、あるいはそれを無視できるシステム
太陽系
完全に閉じたシステムは宇宙全体
開いたシステム
ある与えられた環境のもとにあり、その環境から影響を受けるシステム
気象
システム → 要素がまずありそれらの関係が全体を規定している
天動説 → 太陽運行の数理モデル
実観測に基づくモデルのズレを修正し続けた結果、モデルが繁雑になる
コペルニクスの地動説へ
落体現象
落下距離が落下時間の自乗に比例 → 近似的
この世界は究極的には数理的な単純な法則が支配しているはずといいう信念
3.
物質は究極的には一種の波動
単振動を表す微分方程式
ガリレイの振り子の等時性
振動現象 → システムが釣り合いの状態にあり、時間的に変化しない安定定常状態にあるところから何等かの外的原因によりずれが生じるとき、そのずれをもとに戻そうと復元力が働き、その結果として起きる現象
ケプラーの三法則 → 万有引力の法則
天上界と地上階がまったく同じ法則のもとにあることを具体的に示すことにより、天上界と地上階の垣根を取り去る
ニュートン以降20世紀に入るまで、自然のさまざまな現象が微分積分学の発展と相携えて解明されている
フーリエ解析
マクスウェル方程式 → 電磁波の存在の予言
4.
エントロピー増大法則
エルゴード性
物理学や確率論において、系が時間をかけてすべての状態を均等に訪れる性質を指す。エルゴード性を持つシステムでは、長時間にわたる時間平均と全体の空間平均が一致する
パイコネ変換
原子レベルの運動の性質を調べるためのモデル
初期のわずかなズレからズレが増大していく
5.
相空間 → システムの状態を記述する内部変数の組を表している点を乗せている仮想的な空間
内部変数が2つ→ 平面
3つ → 空間
4つ → 四次元空間
内部変数の個数に等しい次元を持つ
不動点 → システムの時間的に変動しない点
安定定常状態 → システムにエネルギーが補充されなくなるとエネルギーが散逸し安定した状態に達する
不安定多様体、安定多様体
ホップ分岐 → 定常状態が安定なものから不安定なものに変わったとき、その不安定定常点の近くに周期解が形成
散逸構造 → エネルギーや物質の散逸を通して保たれる、動的平衡状態にある構造、動的構造が自然発生的に出現しうる
隷属化原理
安定な内部変数 → 隷属パラメータ
不安定な内部変数 → 秩序パラメータ、行動パラメータ
不安定な内部変数が隷属パラメータの動きを隷属させたり、事実上システムの振る舞いを記述する → 多数の内部変数の動きを統一させる
6.
算術数列的増加、幾何数列的増加
マルサスのモデル → 人口変動モデル
単位量あたりの変化率一定の原理が社会にも普遍的に見られる
モデルをいくつかの分類に分けて改良する
ヴォルテラの理論 = 捕食者被捕食者モデル
競争モデル → 生活力、環境条件
7.
ダイナミカルシステム理論
現象の仕組みを完全に解明できない
システムを定めるパラメーターの値が近似的
ファイゲンバウムの普遍定数
初期値の誤差によって近似の度合いが時間の経過とともに急速に低下していく
カオス → 決定論的システムが示す非決定論的な振る舞い
「単純で美しい法則から生じる単純で美しい現象」という信念に動揺を与える
ローレンツ方程式
流体の運動を表す方程式
簡単化と近似
ローレンツ・アトラクター → 2つの渦
バタフライ効果の元
時系列がカオス的システムから得られたものとして、その時系列からそれを発生させるもとのシステムを組み立てることができる手段があれば、時系列の分析に革命的な変化をもたらす可能性
8.
多体問題
二体問題 → シリウス, 連星, 楕円軌道
摂動法
あるシステムの基準状態に対して小さな変化や影響を考慮することで、そのシステムの挙動を解析する手法
平均化法
影響を平均化し時間的にその影響が一定になるようにする
ポアンカレ
三体問題の複雑さを明らかにした
トポロジー → 幾何学と解析学
自己相似性、フラクタル図形
カントール集合
ローレンツ・アトラクターもフラクタル図形
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