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関数解析3(有界作用素全体のなす空間)
定義3.1（オペレーターノルム）
$${T: V\rightarrow W}$$：有界作用素に対して、次のように定義される$${|T|}$$を$${T}$$の作用素ノルムと呼ぶ。
$$
|T| := \inf\{C \ge 0 | \forall v\in V, |Tv|\le C|v|\}
$$
注意3.2（オペレーターノルムの同値な表現）
$${T: V\rightarrow W}$
関数解析2(有界作用素)
定理2.1
$${V, W}$$: ノルム空間,
$${T: V\longrightarrow W}$$ : 線形写像
とする。
以下の4つは同値である.
$${T}$$ : 連続
$${T}$$ : 原点で連続
$${T}$$ : 有界 i.e. $${\exists c > 0,, \forall v \in V,, |Tv| < c|v|}$$
証明
①. $${1\Rig
関数解析1(ノルム空間とバナッハ空間の定義)
本記事において$${\mathbb{K}}$$は実数$${\mathbb{R}}$$もしくは複素数$${\mathbb{C}}$$を表す。
定義1.1 (ノルム空間)
$${V}$$ : 線形空間 / $${\mathbb{K}}$$
$${V}$$上のノルムとは、次を満たす写像$${\|\cdot\| : V \rightarrow [0,\infty)}$$である。
$${\|v\|