関数解析2(有界作用素)

定理2.1

$${V, W}$$: ノルム空間,
$${T: V\longrightarrow W}$$ : 線形写像
とする。
以下の4つは同値である.

1. $${T}$$ : 連続

2. $${T}$$ : 原点で連続

3. $${T}$$ : 有界　　i.e. $${\exists c > 0,, \forall v \in V,, |Tv| < c|v|}$$

証明

①. $${1\Rightarrow2}$$ :省略.

②. $${2\Rightarrow3}$$ :
2より,
$${\exists \delta}$$ s.t. $${\forall v\in V}$$,

$$
|v-0| < \delta \Rightarrow |Tv -T0| < 1.・・・1
$$

$${C := \frac{1}{\delta} > 0}$$と置く.
$${v\in V}$$に対して，
$${|Tv| = 0}$$ならば3.の不等式が成立する.
$${|Tv| \neq 0}$$の場合について考える．

$$
v' := \frac{v}{|Tv|} \in V
$$

とすると, $${|Tv'|=1}$$となり,1式より,
$${|v'| \ge \delta}$$.
よって，

$$
\frac{|v|}{|Tv|} \ge \delta.
$$

以上より，$${|Tv| \le c|v|}$$.

③. $${3\Rightarrow1}$$ :
$${U\subset W}$$: openをとる.
$${T^{-1}(U) = \emptyset}$$ならば，$${T^{-1}(U)}$$は開集合である.
そうでない場合にも$${T^{-1}(U)}$$が開集合であることを示す.
$${v\in T^{-1}(U)}$$をとる.
$${U}$$が開集合であるから，
$${\exists \varepsilon >0, \forall w \in W}$$,

$$
|Tv-w|<\varepsilon \Rightarrow w \in U.
$$

$${\delta := \frac{\varepsilon}{C} > 0}$$と置く.
$${\forall v' \in V}$$に対して,

$$
|v- v'| < \delta \quad
\Rightarrow \quad
v' \in T^{-1}(U).
$$

実際、
$${\quad |v- v'| < \delta}$$
$${\Rightarrow \quad |Tv-Tv'| = |T(v-v')| \le C|v-v'| \le C \delta = \varepsilon }$$
$${\Rightarrow \quad Tv' \in U.}$$

よって$${T^{-1}(U)}$$は開集合である.
以上より，$${T}$$が連続であることが示された.

定義2.2(有界作用素)

命題2.1の3つの条件のいずれかを満たす（従ってすべての条件を満たす）線形写像$${T : V \rightarrow W}$$を有界作用素と呼ぶ.