整数係数多項式環はPIDか？

今回は完全に数学の内容で。
用語の説明もほぼ書かないのでその点ご了承ください。

まず準備
整数係数多項式が環になることは認めるとする。これをZ[x]と書く。

また(x)はxで生成されるイデアルとする。
イデアルは群に対しての正規部分群みたいなもので、剰余環を考えることができる。

また次のPropに注意する

Prop
Aは環、Iはそのイデアルとする。

(1)A/Iが整域とIが素イデアルは同値
(2)A/Iが体とIが極大イデアルは同値
(3)Iが極大イデアルならば素イデアル

また以下も用意しておく。

Prop

環AがPIDの時、素イデアルは極大イデアルである。

準備はここまで。
整域はxy=0ならばx=0またはy=0
体は四則演算ができるもの(実数や複素数など)
↑厳密には違うがイメージで、、
素イデアルは素数のイメージで、
xy∈Iならばx∈Iまたはy∈Iを満たす。
極大イデアルは読んで字の如く(A自身を除いて)一番大きいイデアルである。
PIDは単項イデアル整域

まあ詳しいことは調べてください。

Proof

φ:Z[x]→Zについてφ(f(x))=f(0)で定めればφは準同型で全射、しかもkerφ=(x)
よって準同型定理より
Z[x]/(x)$${\cong}$$Z

ここでZは整域よりZ[x]/(x)も整域
よって上のPropより(x)は素イデアル。
ここでPIDを仮定すれば(x)は極大イデアル。
よってZ[x]/(x)は体で、ゆえにZは体
だがZは体でないので矛盾

よってZ[x]はPIDでない。

あとがき的な

うーん綺麗
テスト勉強してる時に一番綺麗だと思った証明だから記念に残しておこうと思って、笑
あくまでメモ程度だから厳密じゃないところもあるがそこは御愛嬌をば、、