数学をことばにしよう：整式の剰余

鈴木貫太郎さんの数学動画です。今回も数学をことばにして、解説してみます。

(x^4+x^2+1)^101=f(x)(x^3-1)+ax^2+bx+c
(x^3-1)=(x-1)(x^2+x+1)だから
x=1のとき、3^101=a+b+c
x=ωのとき、ω^4+ω^2+1=aω^2+bω+c
ω^3=1であるから、左辺はω^2+ω+1=0
つまり、aω^2+bω+c=0
aω^2+bω+c=a(-ω-1)+bω+c=ω(b-a)+c-a=0
実部と虚部ともに0だから、a=b、a=c、つまりa=b=c
a+b+c=3Aとおくと、3^101=3Aより、a+b+c=3^100
したがって余りは、3^100(x^2+x+1)

ωが出てくると、字数を1次にまで下げられるのから、超便利です。modを使った別解がかならずあるはずですので、コメント欄を覗いてみます。

勉強になりました！

（了）