ゆうぽむ気象学: 準地衡方程式系(前半)

こんにちは，坂浦いとです．久しぶりの気象の記事です．
今回は自分の使っている教科書をもとに準地衡方程式系について書こうと思います．
方程式系の導出とオメガ方程式と準地衡渦位について書きたいと思いましたが，思ったより長くなってしまうと予想されたため，今回は前半部分の方程式系の導出のみ書きました．後半のオメガ方程式と渦位は今後あげたいと思います．
今回は「気圧座標，君の本心は？」の続きに当たります．参考までに

追記(2022-11-04)
この記事をLaTeXで作り直しました．今後，前半後半合わせたものを公開予定ですが，まずは前半を公開したいと思います．

準地衡方程式系前半.pdf

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準地衡風方程式系の要請

侑
準地衡方程式系って中高緯度大気を考えるうえで重要になるんだけど，最初はなんでこういう議論をするかわからなかったんだよ．でも一歩一歩行間を埋めて自分なりに議論したらわかってきたんだよ．
準地衡方程式系は中高緯度総観規模の大気の運動の本質を取り出したものでこれを理解すると今後の気象学の学習やこれからやりたいと思っている研究などでの考察で応用できると思う気がするんだよ～

歩夢
準地衡方程式系ってそういえばどういうものなの？
何かをベースにして話を展開している感じ？

侑
準地衡方程式系は気圧座標系をベースにしているんだよ．

歩夢
そこにどんな仮定をおいて準地衡方程式系にもってくるの？

侑
準地衡方程式系の仮定，つまり公理としてコリオリパラメータを一次の項までテイラー展開するのと，風を地衡風と非地衡風に分解する二つの要請があるの．
まずコリオリパラメータのほうを書こうか．

公理1(コリオリパラメータの要請)

(1) コリオリパラメータ$${f=2\Omega \sin \varphi}$$，えーとここで$${\Omega}$$は地球の自転角速度，$${\varphi}$$は緯度として，$${a}$$を地球の半径としよう．
これを緯度$${\varphi_{0}}$$で一次の項までテイラー展開して

$$
f \equiv 2 \Omega \sin \varphi = 2 \Omega \sin \varphi_0 + 2 \Omega \cos \varphi_0 (\varphi - \varphi_0)
$$

ここで$${y\equiv a (\varphi - \varphi_0)}$$とすると，

$$
\begin{align*}
f &=f_0 + \frac{1}{a}\left(\frac{\partial f}{\partial \varphi }\right)_{\varphi = \varphi_0} a (\varphi - \varphi_0)\\ &= f_0 + \frac{\partial f}{\partial y}y \\&\equiv f_0 + \beta y
\end{align*}
$$

ここで$${\beta \equiv \frac{\partial f}{\partial y}}$$を「ベータ効果」と言って，コリオリパラメータの南北方向の位置変化を表すね．
さらに仮定として$${|\beta y|\ll |f_0|}$$を仮定するの．これはコリオリパラメータを「接平面近似」していると考えられることができるの．

歩夢
接平面の接点は緯度が$${\varphi_0}$$でそこを中心に緯度座標ではなくて通常の座標で$${y}$$だけ動くことを考える感じであっている？

侑
そういうこと！あと経度方向にはコリオリパラメータは変化しないことに注意すると，東西方向に関しては帯状に考えても大丈夫だね．したがって地球のある緯度帯で考える感じになりそうね．

あと準地衡方程式系のもう一つの仮定として，水平の代表スケールは南北に注目して約1000kmくらいとするから，風は地衡風と近似できるんだよ．したがって数式で表すと，風ベクトル$${\vec{u}}$$を地衡風成分$${\vec{u_g}}$$と非地衡風成分$${\vec{u_a}}$$に分けて，これも公理で，

公理1(準地衡近似)

$$
\vec{u} = \vec{u_g} + \vec{u_a}
$$

ただし$${ |\vec{u_a}| \ll |\vec{u_g}| \sim |\vec{u}|}$$

あと地衡風は次の式を満たしていて：

$$
f_0 \hat{k} \times \vec{u_g} = - \nabla \Phi
$$

普通準地衡方程式系は気圧座標系で考えていて，あと地衡風は$${f}$$ではなくと$${f_0}$$に注意しよう．

歩夢
じゃあまとめるとコリオリパラメータと風はそれぞれ平均場の$${f_0}$$と$${\vec{u_g}}$$と擾乱項$${\beta y}$$と$${\vec{u_a}}$$の和で表す方程式系を準地衡風方程式系という感じで，いい？

侑
そうそう，そのふたつを一次近似しているような感じ！

連続の式

侑
準地衡方程式系の連続の式は気圧座標系と同じものを使うんだよ～

$$
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial \omega}{\partial p}=0
$$

と同じだけど，
ひとつおもしろい定理があって，地衡風の発散は実はゼロになるの

定理2. 地衡風は非発散である

$$
\nabla \cdot \vec{u_g} = 0
$$

歩夢
定義式に発散をとって計算で証明する感じ？
じゃあ証明書いてみるよ．

証明.

地衡風の定義$${f_0 \hat{k} \times \vec{u_g} = - \nabla \Phi}$$より各成分を書いてみると

$$
u_g = - \frac{1}{f_0}\frac{\partial \Phi}{\partial y}
$$

と

$$
v_g = \frac{1}{f_0}\frac{\partial \Phi}{\partial x}
$$

これに発散をとって

$$
\frac{\partial u_g}{\partial x} + \frac{\partial v_g}{\partial y}
= \frac{1}{f_0}\left(-\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y \partial x}+\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial y} \right) \\ = 0
$$

よし，これで証明完了！

侑
あっているよ！この定理は準地衡方程式系で核心となる定理のひとつであとにも何回か使うからちゃんと頭にいれておいてね．

歩夢
これって地衡風と非地衡風にわけるということは，発散なしと発散ありの風に分けていることになるね．

侑
あーたしかに．発散ありの風は準地衡方程式系では擾乱項で小さいけれどこれが重要な役割を持っているんだよ．したがって連続の式はこう書けるようになるんだ．

$$
\frac{\partial u_a}{\partial x}+\frac{\partial v_a}{\partial y}+\frac{\partial \omega}{\partial p}=0
$$

次に運動方程式について議論しよう～

準地衡近似の水平運動方程式

歩夢
水平運動方程式は気圧座標のを使うという感じ？

侑
そうだよ．まずそれぞれx成分とy成分の運動方程式を書き下ろそうか

$$
\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + \omega \frac{\partial u}{\partial p} = fv - \frac{\partial \Phi}{\partial x}
$$

と

$$
\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + \omega \frac{\partial v}{\partial p} = - fu - \frac{\partial \Phi}{\partial y}
$$

じゃあまずは左辺のラグランジュ微分に準地衡近似を掛けよう．
$${\vec{u}= \vec{u_g} + \vec{u_a}}$$，$${|\vec{u_g}| \gg |\vec{u_a}|}$$を思い出して，さらに鉛直風$${\omega}$$は非地衡風に留意して

$$
\frac{D}{Dt} \equiv \frac{\partial}{\partial t} + u \frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y} + \omega \frac{\partial}{\partial p}
$$

$$
\approx \frac{\partial}{\partial t} + u_g \frac{\partial}{\partial x} + v_g \frac{\partial}{\partial y} \equiv \frac{D_g}{Dt}
$$

したがって左辺は

$$
\frac{D u}{D t} \approx \frac{D_g u_g}{Dt}
$$

になるね．y成分についても同様だね．
で，ついていけている？

歩夢
うーん…$${\frac{D_g}{Dt}}$$の物理的な意味ってどうなっているの？

侑
まず$${\frac{D}{Dt}}$$ってどういう意味か覚えている？

歩夢
えーと，ラグランジュ微分で流れにそった微分だったっけ？

侑
そうだよ！じゃあ$${\frac{D_g}{Dt}}$$はそのアナロジーで…

歩夢
…地衡風に沿った微分？

侑
そうそう！
つぎに右辺も同様の近似を行おう．
まず右辺に近似を行うために，コリオリパラメータ$${f}$$と風ベクトル$${\vec{u}}$$を要請の式に展開すると，

$$
(f_0 + \beta y)(v_g + v_a) - \frac{\partial \Phi}{\partial x}
$$

$$
\left( f_0 v_g - \frac{\partial \Phi}{\partial x}\right) + \beta y v_g + f_0 v_a + \beta y v_a
$$

ここでカッコ内は地衡風の定義で打ち消しあって，さらに最終項は擾乱項同士の積で無視されるからx方向の準地衡運動方程式は，これを定理3とかくと

定理3.(水平方向の運動方程式(摩擦項は省略)

x方向：

$$
\frac{D_g u_g}{Dt} = \beta y v_g + f_0 v_a
$$

そしてy方向は同様の操作によって

$$
\frac{D_g v_g}{Dt} = - \beta y u_g - f_0 u_a
$$

ただし$${\frac{D_g}{Dt}}$$は

$$
\frac{D_g}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t}+u_g \frac{\partial}{\partial t} +v_g \frac{\partial}{\partial t}
$$

物理的解釈は

地衡風に沿った時間微分

となるね．

歩夢
でもこれってなんとなくで近似をかけたといえるね．そもそも左辺=右辺を仮定しているし，なんか厳密性にかけるね．

侑
歩夢がそういうのわかっていて，実はスケール解析でこの近似がちゃんとした操作であることであるのを確かめているんだよ．

まず総観気象学において次の代表的スケールが要請されているの．

水平スケール$${L \sim 10^6 m}$$
鉛直スケール$${H \sim 10^4 m}$$
代表的な水平風$${U \approx U_g \sim 10 ms^{-1}}$$
コリオリパラメータ$${f \approx f_0 \sim 10^{-4} s^{-1}}$$
時間スケール$${T = \frac{L}{U} \sim 10^5 s}$$
鉛直方向の気圧変化$${P \sim 10^5 Pa}$$

これらは観測ができる値として初期的に与えられているが，非地衡風は観測しにくいから方程式から求めよう．そして$${\beta}$$は

$$
\beta = \frac{2 \Omega \cos \varphi_0}{a}
$$

ここで$${a}$$は地球の半径，約6370kmでだいたいオーダーは$${10^7}$$kmだからこれにスケール解析すると

$$
\beta \sim \frac{f}{a} = 10^{-11} m^{-1}s^{-1}
$$

となるね．

そして非地衡風は運動方程式から

$$
\frac{D \vec{u}}{Dt} = - f \hat{k} \times \vec{u_g} - \nabla \Phi - f \hat{k} \times \vec{u_a}
$$

$$
\frac{D \vec{u}}{Dt} = - f \hat{k} \times \vec{u_a}
$$

そしてスケールは

$$
\frac{U^2}{L} = f U_a
$$

しかるに

$$
U_a = \frac{U^2}{fL} = 1ms^{-1}
$$

そして鉛直流は連続の式

$$
\nabla \cdot \vec{u_a} = - \frac{\partial \omega}{\partial p}
$$

より

$$
\omega \sim \frac{U_a P}{L} = 10^{-1} Pas^{-1}
$$

いまこの式に対して，

$$
\frac{D_g u_g }{Dt} + \frac{D_g u_a}{Dt} + \vec{u_a} \cdot \nabla u_g + \vec{u_a} \cdot \nabla u_a + \omega \frac{\partial u_g}{\partial p} + \omega\frac{\partial u_a}{\partial p} \\
= \beta y v_g + f_0 v_a + \beta y v_a
$$

それぞれの項のスケールを調べると

$${\frac{D_g u_g }{Dt} \sim 10^{-4}}$$
$${\frac{D_g u_a }{Dt} \sim 10^{-5}}$$
$${\vec{u_a} \cdot \nabla u_g \sim 10^{-5}}$$
$${\vec{u_a} \cdot \nabla u_a \sim 10^{-6}}$$
$${\omega \frac{\partial u_g}{\partial p} \sim 10^{-5}}$$
$${\omega \frac{\partial u_a}{\partial p} \sim 10^{-6}}$$
$${\beta y v_g \sim 10^{-4}}$$
$${f_0 v_a \sim 10^{-4}}$$
$${\beta y v_a \sim 10^{-5}}$$

になるから結果，$${10^{-4}}$$のオーダーの項だけが残って

$$
\frac{D_g u_g }{Dt} = \beta y v_g + f_0 v_a
$$

になるね．
そしてy方向も同様になるよ．

歩夢
ありがとう～！これで行間が埋められた気がするよ！

侑
じゃあ次の定理に移ろうか！

エネルギーの式

侑
つぎは層厚変化の式の式に移ろう．

歩夢
層厚変化？そんな式あった？

侑
気圧座標のエネルギーの式を思い出そう．この式は温度変化についての式でもあったね．この式は熱力学第一法則と同値だね．
とりあえずまず式を書くよ：

$$
\frac{\partial T}{\partial t} + \vec{u} \cdot \nabla T = \sigma_p \omega + T \frac{D \ln \theta}{Dt}
$$

ただし$${\sigma_p}$$は静的安定度で

$$
\sigma_p \equiv - T \frac{\partial \ln\theta}{\partial p}
$$

で定義されるね．これの物理的意味に関してはこの前ノート見せたから覚えているよね？

歩夢
うん！左辺が温度の局所変化と温度の水平移流，右辺が鉛直流による断熱加熱と非断熱加熱だっけ？

侑
そうだよ！じゃあ層厚の式に変換しよう！

歩夢
温度と層厚の関係…あ，静水圧平衡の式？？

侑
その式！まず静水圧平衡の式を適用させるために両辺に$${\frac{R}{p}}$$をかけよう：

$$
\frac{R}{p}\left(\frac{\partial T}{\partial t} + \vec{u} \cdot \nabla T\right) = \frac{R}{p}\sigma_p \omega + \frac{RT}{p} \frac{D \ln \theta}{Dt}
$$

そして状態方程式と静水圧平衡の式，

$$
-\frac{\partial \Phi}{\partial p}=\alpha = \frac{RT}{p}
$$

からこの式は次のように変形されるね：

$$
\frac{\partial}{\partial t }\left(-\frac{\partial \Phi}{\partial p}\right) + \vec{u} \cdot \nabla \left(-\frac{\partial \Phi}{\partial p}\right) = S_p \omega + \alpha \frac{D \ln \theta}{Dt}
$$

ここで$${S_p}$$は静的安定度のパラメータで

$$
S_p \equiv - \alpha \frac{\partial \ln \theta}{\partial p} = - \frac{RT}{p}\frac{\partial \ln \theta}{\partial p}
$$

で定義されるね．

最後に準地衡近似

$$
\frac{\partial}{\partial t } + \vec{u} \cdot \nabla \approx \frac{\partial}{\partial t} + \vec{u_g} \cdot \nabla
$$

をかけてあげてここで定理としてまとめると

定理4. エネルギーの式(層厚表示)

$$
\frac{\partial}{\partial t }\left(-\frac{\partial \Phi}{\partial p}\right) + \vec{u_g} \cdot \nabla \left(-\frac{\partial \Phi}{\partial p}\right) = S_p \omega + \alpha \frac{D \ln \theta}{Dt}
$$

ただし

$$
S_p \equiv - \alpha \frac{\partial \ln \theta}{\partial p}
$$

物理的解釈は

温度の局所変化 = 温度の地衡風による水平移流 + 断熱加熱 + 非断熱加熱

である．

歩夢
この式の物理的解釈ってどうなるの？

侑
層厚は同じ気圧ならば温度に比例することが知られていて，おおむね空気のふくらみに対応するんだよ．静的安定度のパラメータはほとんど静的安定度と考えていいよ．
あ，非断熱加熱って例えば，太陽放射の加熱や放射冷却，潜熱の効果などが挙げられるね．

歩夢
ありがとう！

侑
つぎは準地衡渦度方程式を導出するね！

準地衡渦度方程式

歩夢
渦度方程式？渦度に関する関係式？

侑
そうだよ～どうやって出すかというと
「y方向の運動方程式のxで偏微分したもの-x方向の運動方程式のyで偏微分したもの」
で導出できるんだよ．

歩夢
その操作で相対渦度$${\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}}$$を作り出すんだね．そうすると相対渦度の性質がわかりそうだよ．

侑
そういう感じで相対渦度を出していくの．でもひとつ注意が必要で，私も初見ではひっかかっておかしい結果になっちゃったもので，$${\frac{D}{Dt}}$$のそれぞれx，yでの微分が意外と見落とすのがあって，実は…

$$
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{D_g v_g}{Dt}\right) = \frac{D_g}{Dt}\left(\frac{\partial v_g}{\partial x}\right)
$$

と計算してしまって… 

歩夢
あ，移流項のところで計算ミスっているね．正しくは

$$
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{D_g v_g}{Dt}\right) &= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial v_g}{\partial t} + u_g \frac{\partial v_g}{\partial x}+ v_g \frac{\partial v_g}{\partial y}\right) \\
&=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial v_g}{\partial x} + u_g \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial v_g}{\partial x} + v_g \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial v_g}{\partial x} + \frac{\partial u_g}{\partial x}\frac{\partial v_g}{\partial x} + \frac{\partial u_g}{\partial x}\frac{\partial v_g}{\partial y} \\
&= \frac{D_g}{Dt}\left(\frac{\partial v_g}{\partial x}\right) + \frac{\partial u_g}{\partial x}\frac{\partial v_g}{\partial x} + \frac{\partial u_g}{\partial x}\frac{\partial v_g}{\partial y}
\end{align*}
$$

と移流項の部分にも微分が来るね．

侑
そうそう，これが正しい結果なんだよ～

話を戻してまず準地衡運動方程式をそれぞれまた書くと

$$
\frac{D_g u_g}{Dt} = \beta y v_g + f_0 v_a
$$

$$
\frac{D_g v_g}{Dt} = - \beta y u_g - f_0 u_a
$$

これにy成分にxで偏微分したものとx成分にyで偏微分したものを書くと，

$$
\frac{D_g}{Dt}\left(\frac{\partial v_g}{\partial x}\right) + \frac{\partial u_g}{\partial x}\frac{\partial v_g}{\partial x} + \frac{\partial v_g}{\partial x}\frac{\partial v_g}{\partial y} = - f_0 \frac{\partial u_a}{\partial x} - \beta y \frac{\partial u_g}{\partial x}
$$

$$
\frac{D_g}{Dt}\left(\frac{\partial u_g}{\partial y}\right) + \frac{\partial u_g}{\partial y}\frac{\partial u_g}{\partial x} + \frac{\partial v_g}{\partial y}\frac{\partial u_g}{\partial y} = f_0 \frac{\partial v_a}{\partial y} + \beta y \frac{\partial v_g}{\partial y} + \beta v_g + \frac{\partial \beta}{\partial y} y v_g
$$

ここで下の式の最終項はスケールが小さいので無視できて，差をとると

$$
\frac{D_g}{Dt}\left(\frac{\partial v_g}{\partial x} - \frac{\partial u_g}{\partial y}\right) + \frac{\partial f}{\partial y}v_g \\= - f_0 \left(\frac{\partial u_a}{\partial x} + \frac{\partial v_a}{\partial y}\right)-\left(\frac{\partial u_g}{\partial x} + \frac{\partial v_g}{\partial y}\right)\left(\frac{\partial v_g}{\partial x} - \frac{\partial u_g}{\partial y} + \beta y \right)
$$

ここで地衡風の発散はゼロであることと，$${\nabla \cdot \vec{u_a} = \nabla \cdot \vec{u}}$$であるから，
あと準地衡相対渦度を

$$
\zeta_g \equiv \frac{\partial v_g}{\partial x} - \frac{\partial u_g}{\partial y}
$$

と定義すると上の式は，

$$
\frac{D_g}{Dt}\left(\zeta_g + f \right) = - f_0 \nabla \cdot \vec{u}
$$

と簡潔な式になったね．この式を準地衡渦度方程式と云うよ．

さらにここで連続の式$${\nabla \cdot \vec{u} = - \frac{\partial \omega}{\partial p}}$$を使うことによって

$$
\frac{D_g}{Dt}\left(\zeta_g + f \right) = f_0 \frac{\partial \omega}{\partial p}
$$

になるね．

これを定理5.にすると

定理5. 準地衡渦度方程式

$$
\frac{D_g}{Dt}\left(\zeta_g + f \right) = - f_0 \nabla \cdot \vec{u}
$$

もしくは

$$
\frac{D_g}{Dt}\left(\zeta_g + f \right) = f_0 \frac{\partial \omega}{\partial p}
$$

歩夢
物理的解釈は，まず一つ目の式は水平収束があると渦度が増加して，二つ目の式は鉛直発散があると渦度が増加するでいい？
つまりこれって地上の低気圧は水平収束があるから渦度が増加して，高気圧は水平発散があるから渦度が減少するでいい？

侑
歩夢の前半の一般論は正しいけれど，後半は間違いかな？
だってこの式って，時間変化の式だから，ただでさえ地上で収束している低気圧がずっと渦度が増加するよ．

歩夢
じゃあこの渦度方程式に地表摩擦による渦度の減少項を加えないと辻褄が合わない気がするよ．そもそも運動方程式に摩擦項を加えるべきじゃなかったかな．
するとこうなると思う

$$
\frac{D_g u_g}{Dt} = \beta y v_g + f_0 v_a + F_x
$$

$$
\frac{D_g v_g}{Dt} = - \beta y u_g - f_0 u_a + F_y
$$

したがって渦度方程式は

$$
\frac{D_g}
{Dt}\left(\zeta_g + f \right) = - f_0 \nabla \cdot \vec{u} + \hat{k} \cdot (\nabla \times \vec{F})
$$

後者の式は

$$
\frac{D_g}{Dt}\left(\zeta_g + f \right) = f_0 \frac{\partial \omega}{\partial p} + \hat{k} \cdot (\nabla \times \vec{F})
$$

になると思う．

侑
あー確かに…この式のほうが適切だな…

じゃあ改めて定理3と定理5を書くか

定理3. 水平運動方程式，定理5. 渦度方程式(摩擦項あり)

x方向の運動方程式

$$
\frac{D_g u_g}{Dt} = \beta y v_g + f_0 v_a + F_x
$$

y方向の運動方程式

$$
\frac{D_g v_g}{Dt} = - \beta y u_g - f_0 u_a + F_y
$$

渦度方程式

$$
\frac{D_g}{Dt}\left(\zeta_g + f \right) = - f_0 \nabla \cdot \vec{u} + \hat{k} \cdot (\nabla \times \vec{F})
$$

$$
\frac{D_g}{Dt}\left(\zeta_g + f \right) = f_0 \frac{\partial \omega}{\partial p} + \hat{k} \cdot (\nabla \times \vec{F})
$$

ここで$${\zeta_g}$$は準地衡相対渦度であり，

$$
\zeta \equiv \frac{\partial v_g}{\partial x}-\frac{\partial u_g}{\partial y}
$$

物理的解釈は

地衡風にそった準地衡絶対渦度の変化 = 水平風収束 + 摩擦力(散逸項)の回転
もしくは
地衡風にそった準地衡絶対渦度の変化 = 鉛直発散 + 摩擦力(散逸項)の回転

歩夢
でも摩擦項ってどのくらいのスケールなんだろう…

侑
うーん，観測例と先ほどの歩夢が挙げた例からいくらかはあると思うよ．
すまないけれどちょっとスケールの大きさがわからないなあ…
まあ仕方ないけれど観測例と合わせるために摩擦項も入れて考えようか．

歩夢
うーん今後スケールを知っていきたいなあ．今後の学習に期待だね！

侑
まだ未学習だからあとで知るかもしれないね．

準地衡相対渦度と高度場の関係

侑
あ，準地衡相対渦度に関して重要な定理をひとつあげるね．

定理6. 準地衡相対渦度と高度場の関係

$$
\zeta_g = \frac{\nabla^2 \Phi}{f_0}
$$

証明は計算で示されて，まず地衡風の定義をそれぞれの成分で書くと，

$$
\begin{align*}
u_g &=- \frac{1}{f_0}\frac{\partial \Phi}{\partial y}\\
v_g &= \frac{1}{f_0}\frac{\partial \Phi}{\partial x}
\end{align*}
$$

そのまま渦度をもとめると

$$
\begin{align*}
\zeta_g & \equiv \frac{\partial v_g}{\partial x}-\frac{\partial u_g}{\partial y}\\
& =\frac{1}{f_0}\left(\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2}\right) \\
& =\frac{\nabla^2 \Phi}{f_0}
\end{align*}
$$

と完成だね！

歩夢
この物理的解釈って，ラプラシアンだから高度場が低く凹んでところは渦度が正になっていて，逆に高度場が高く凸になっているところは渦度が負になっているのか…これって観測とすごくぴったり合うね．

侑
確かに！次の関係が成り立つね！：

低気圧性循環 ⇔ 相対渦度が正 ⇔ 高度場は下に凸 ⇔ 低気圧
高気圧性循環 ⇔ 相対渦度が負 ⇔ 高度場は上に凸 ⇔ 高気圧

ただしこの関係は北半球で成り立つ関係だから南半球では符号に注意しよう．

歩夢
準地衡方程式系ってかなり大気の運動の本質を抜き出してくるね．

侑
うん！数式での理論が実際に観測例と重ねあうところにすごくトキメいちゃう！！準地衡方程式系は理解が難しいけれど考えた末，こうやって複雑な理論，数式が単純な観測事実に結び付けられて爽快感を感じたよ．

前半おわり

参考文献：

ジョナサン E. マーティン[著], 近藤 豊, 市橋 正生[訳]. 大気力学の基礎 中緯度の総観気象. 初版. 東京大学出版会, 2016. (この教科書をベースにしました)