位相と論理と私5：ブール代数（pp.7-10）

かっこいい言い回しで始まる．$${PX}$$（ベキ集合族）が典型的なブール代数であるとのこと．抽象的過ぎて混乱した時はベキ集合族で考えるとよさそう．

補元定義1.17　束において，$${a\land x=0, a\lor x=1}$$となる$${x}$$を$${a}$$の補元という．

束には最小元0と最大元1の存在が保証されていました．補元はベキ集合で言えば「補集合」というやつですね．台集合$

半束（はんそく）や束（そく）という字を見ていると，ネギの束（たば）を半分に切ったものやホウレンソウの束（たば）を妄想してしまいます．それでそういった画像をnoteで借りてきて記事のトプ画にしました．

位相と論理と私4：束，分配束（pp.6-7）

前回までで，半束のこと，冪等積と順序の一意性についてやりました．今回は束と分配束をやります．これで束論の速習的なことが完了します．

束順序集合がすべての有限joinと有限meetをもつなら，束であるといいます．

第2回で示したように，join半束として完備ならmeet半束としても完備，逆もまた然り，なので，どちらかが完備なら束であるわけですね．

有限join，有限meetがあればよいので，束

位相と論理と私3：ブール環ぽいものに順序を一意的に入れられることについて訂正（p.4）

前回の2の記事で考察不足な部分があったので，それについて説明します．

ブール環っぽいものから一意的に決まる順序命題1.7で，積が冪等ならば順序が一意的に定まることが証明されました．再掲します．

$${A}$$は集合で，$${e}$$はその元，$${\ast}$$は2項演算子で次の条件をみたすとする．

$$
a\ast a=a,\quad a\ast b=b\ast a, \quad a\as

積が冪等なら順序が一意的に定まることをもっとちゃんと考えようとしたけど、序盤に計算ミスしてて全部無に帰した。

位相と論理と私2：半束（pp.4-6）

前回は半束の定義まで進んでいました．その続きです．

半束順序集合$${A}$$のすべての有限部分集合がjoinをもつとき，半束といいます．

半束は空集合のjoinとして最小元0をもつ．任意の2元$${a,b\in A}$$のjoin，すなわち，$${\lor\{a,b\}}$$も存在が保証されている．それを$${a\lor b}$$と書く．

これにより半束の中で$${\lor}$$は2項演算