『高校数学のロードマップ』A_1（集合編）2『演算』

（2019/11/27差し替え）

（※注：「理系に進学したいが数学が苦手な知人の高校生に、数学の良さを教える」というミッションのための草稿を、あらかじめWebに掲載して、ダメなところを指摘してもらおう、という趣旨の記事です）

＊＊＊

〇演算

●いろんな能力をもつ特別な集合

・集合の中には、いろんな能力をもつものがあります。
「順序で並べられる（順序的構造（じゅんじょてきしゅうごう））」
「計算ができる（代数的構造（だいすうてきこうぞう））」
「ある種の空間が作れる（位相的構造（いそうてきこうぞう））」
などが代表的な能力です。
（本当は「計算」という言葉にはいろいろな意味があります。＋－×÷等の計算のことは、より正確には演算（えんざん）とか算法（さんぽう）とか言います。なので、今後この手の計算の話をする時は、「演算」で表記を統一します。）

●集合から自然数までのロードマップと重要な中間生成物

・ここでは、集合から自然数を構成する方法について、ザッと説明します。
正確には、集合から写像を、写像から順序数を、順序数から大学数学レベルの関数を、大学数学レベルの関数から演算を、演算から自然数を構成するというやり方をします。
・まずは、写像（しゃぞう）というものを作ります。（高校数学で使わないと思うので、基本的には説明を飛ばします。今からやるのは必要最小限の説明だと思って下さい。）
2つの集合の間の、元同士の、矢印のようなつながりを、集合をいろいろ操作することによって作ることが出来ます。
「箱が矢印に変形する」というのは直感に反しますが、箱を頑張って変形させると、ちゃんと矢印と同じ意味のものが出来るんですね。
この「矢印のようなつながり」のことを写像といいます。
・そして、いろいろ頑張ることによって、この写像から、順序数や大学数学レベルの関数や、演算や、自然数が作れます。なので、写像のことをイメージ出来るようになるととても便利です。
 
・集合論では、箱（集合）のうち、中身（元）の入っていない空箱（空集合（くうしゅうごう））を、数（すう）0と同一視します。
・集合論では、「空箱1個を入れて、ある法則に従ってマトリョーシカ構造にした箱は、中身が1個入った箱と同じ値打ちがある」という扱いをして、このマトリョーシカ箱を数1と同一視します。
・マトリョーシカが重なれば数2,3,4,…と同一視します。
・要するに、数とは、箱（集合）の一種で、空箱の入っているマトリョーシカ箱のことです。
 
・こうして出来た、マトリョーシカ箱である数は、大小関係（だいしょうかんけい）という順序を持ちます。（まだ演算は出来ません。注意して下さい。）
こうした、順序だけを持つ、演算を考えていない数を、順序数（じゅんじょすう）と呼びます。これが最も原始的な数のレベル、数レベル0だと考えてもらって結構です。（大学数学で出て来るキーワードですので、今は覚えなくて結構です。）
「順序数なんて聞いたことない」と言いたくなるでしょうが、順序数を今用意することで、初めて大学数学レベルの関数が作れるのです。そして、大学数学レベルの関数によって、初めて演算能力が作れるのです。（面倒ですね。）

●演算ができる何かを扱うジャンル・代数学

・昔は、数学の大ジャンルは、代数学か、解析学か、幾何学か、その他か、それらを兼ねているか、というくくりでした。今ではこのくくりだと、小ジャンルを登っていたと思ったら大ジャンルのあっちこっちに飛んで混乱するので、「昔はこう呼ばれていた大ジャンルの一部だった」程度の認識でいるのが良いかと思います。
・演算としての計算ができる（代数的構造を持つ）何かを扱うジャンルを、代数学（だいすうがく）と言います。これで（順序数ではない）数や文字式を扱えます。
（（順序数ではない）数を扱うジャンルを数論と言います。また、文字式を扱うジャンルだけを代数学と言う人もいますが、個人的には「文字式ではなく、広く演算と結び付けた方が幅広くて便利だな」と思います。）

・さて、いわゆる普通の数（自然数（しぜんすう））は、順序で並べられる上に、演算が出来るため、便利な集合です。
逆に、演算能力に、とある性質をいくつかくっつけると、自然数と同一視出来るものが作れるんですね。
・だいたい

！集合→（写像→順序数→（大学数学レベルの）関数→）演算→自然数

　というロードマップだと思ってください。
（集合から写像を、写像から順序数を、順序数から大学数学レベルの関数を、大学数学レベルの関数から演算を構成する方法は、真面目にやれば説明出来るのですが、難しくなるので飛ばします。
「そんなの納得出来ない」という場合に限り、参考編を読むことを勧めます。）