リベンジ・トロピカル-対称化(4)

トロピカル演算に無理矢理ひき算を入れるお話。
前回までは新たな数$${\boxminus a,a^\bullet}$$を含む演算のルールを見ていきました。
詳しい計算は前回の記事などを見てください。

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さて、今回は対称化したトロピカル演算について、方程式を解いてみようと思います。

$$
3\boxtimes x\boxplus 4=5
$$

こんな感じのものを解きたいわけです。
慣れていると、$${x=2}$$かなぁと思いますが、これを出してみようと思います。

やり方の詳細は後で語るとして、まずどんな感じの変形をしていくのか具体例で見てしまいます。

$$
\begin{array}{}3\boxtimes x&\bigtriangledown&5\boxplus(\boxminus 4)\\3\boxtimes x&\bigtriangledown&5\\\end{array}
$$

ひとまずこんなふうな移項と変形をします。
その上で等式をバランス式に置き換えます。
このバランス式の解はというと、

$$
\begin{array}{}x&=&3^{-1}\boxtimes 5\\&=&-3\boxtimes 5\\&=&\begin{pmatrix}-3\\-\infty\end{pmatrix}\boxtimes\begin{pmatrix}5\\-\infty\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}-3\otimes 5\oplus-\infty\otimes -\infty\\-3\otimes -\infty\oplus-\infty\otimes 5\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}2\\-\infty\end{pmatrix}\end{array}
$$

ということで、$${x=2}$$となります。

さて、以上の計算、何をやっているのかというと、大きく二つの飛躍があります。

・等式とバランス等式の解は同じなのか。
・バランス等式の移項操作はよいか。
・解の公式(?)は通常代数と同じだがこれで良いのか。

これは下から辿るのが良いでしょうか。
３つ目の疑問から攻めていきます。

まず方程式を一般的に$${a\boxtimes x\bigtriangledown b}$$とします。
この時解が$${(-a)\boxtimes b}$$になるということは、

$$
\begin{array}{}a\boxtimes ((-a)\boxtimes b)&=&a\boxtimes (-a)\boxtimes b\end{array}
$$

ここで問題になるのが$${a\boxtimes (-a)}$$の扱いです。
一応3パターン考えられます。

まず普通の数

$$
\begin{array}{}\begin{pmatrix}a\\-\infty\end{pmatrix}\boxtimes\begin{pmatrix}-a\\-\infty\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}a\otimes-a\oplus-\infty\otimes-\infty\\a\otimes-\infty\oplus-\infty\otimes-a\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}0\\-\infty\end{pmatrix}\end{array}
$$

続いて$${\boxminus}$$数

$$
\begin{array}{}\begin{pmatrix}-\infty\\a\end{pmatrix}\boxtimes\begin{pmatrix}-\infty\\-a\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}a\otimes-a\oplus-\infty\otimes-\infty\\a\otimes-\infty\oplus-\infty\otimes-a\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}0\\-\infty\end{pmatrix}\end{array}
$$

最後にバランス数

$$
\begin{array}{}\begin{pmatrix}a\\a\end{pmatrix}\boxtimes\begin{pmatrix}-a\\-a\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}a\otimes-a\oplus a\otimes-a\\a\otimes-a\oplus a\otimes-a\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\end{array}
$$

つまり、

$$
\begin{array}{}a\boxtimes ((-a)\boxtimes b)&=&\begin{cases}0\boxtimes b&(aはバランス数ではない)\\0^\bullet\boxtimes b&(aがバランス数)\end{cases}\end{array}
$$

さて、さらに分岐です。$${b}$$の素性で分けます。$${b}$$が普通の数、対称化負、バランス数の時それぞれ、

$$
\begin{cases}\\0\boxtimes b&=&\begin{cases}0\boxtimes b&=&b\\0\boxtimes(\boxminus b)&=&\boxminus b\\0\boxtimes b^\bullet&=&b^\bullet \end{cases}\\\\0^\bullet\boxtimes b&=&\begin{cases}0^\bullet\boxtimes b&=&b^\bullet\\0^\bullet\boxtimes(\boxminus b)&=& b^\bullet\\0^\bullet\boxtimes b^\bullet&=&b^\bullet \end{cases}\\\:\end{cases}
$$

このように、$${b}$$の属性がちゃんと保たれるのは上の場合に限られます。
つまり$${a}$$がバランス数だとこの解法はうまくいかないということです。

それもそのはずで、演算での立ち位置としては、バランス負はゼロに近い振る舞いをします。
つまり$${a}$$がバランス数というのは、普通の一次式で$${0x+b}$$をやっているようなものです。
これでは$${x=-\frac{b}{a}}$$とはなりません。
というよりできませんね。

ひとまずこれで後者は解決といえましょうか。

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さて、問題は前者です。
大雑把にいうと以下の式の成立を見ればいいことになります。

$$
a\boxplus b\bigtriangledown c\Leftrightarrow a\bigtriangledown c\boxplus (\boxminus b)
$$

具体的に成分で書いてみると、

$$
\begin{array}{}&\begin{pmatrix}\max(a_1,b_1)\\\max(a_2,b_2)\end{pmatrix}\bigtriangledown\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}\\\\\Leftrightarrow& \max(a_1,b_1,c_2)=\max(a_2,b_2,c_1)\end{array}
$$

一方で、

$$
\begin{array}{}&\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\bigtriangledown\begin{pmatrix}\max(c_1,b_2)\\\max(c_2,b_1)\end{pmatrix}\\\\\Leftrightarrow&\max(a_1,c_2,b_1)=\max(a_2,c_1,b_2)\end{array}
$$

です。
最後の結果は項の順番が多少違いますが同じ等式と言えます。
つまり対称化max-plus代数(対称化トロピカル代数)における移項は$${\boxminus}$$でするということです。
このようにみると、いかに$${\boxminus}$$演算がうまくできているものかと感心してしまいます。

ただこの移項操作、完璧とは実は言い難い。
といいますのも、逆元をぶつけて対消滅みたいにさせるのが移項の本質と考えると、上の書き方はちょっと怪しむべきです。

$$
\begin{array}{}a\boxplus b\bigtriangledown c&\Rightarrow &a\boxplus b\boxplus (\boxminus b)\bigtriangledown c\boxplus (\boxminus b)\\&\overset{?}{\Rightarrow}&a\bigtriangledown c\boxplus (\boxminus b)\end{array}
$$

イメージはこんな感じです。
最初の矢印はともかくとして、２行目に行く時ちょっと問題が起きます。
$${b\boxplus(\boxminus b)=b^\bullet}$$ですので、

$$
\begin{array}{}a\boxplus b^\bullet\bigtriangledown c\boxplus (\boxminus b)&\overset{?}{\Rightarrow}&a\bigtriangledown c\boxplus (\boxminus b)\end{array}
$$

こういうことになります。
しかしこれは任意の$${b}$$では成り立ちません。
前回やったように

$$
a\boxplus b^\bullet=\begin{cases}a&(a>b)\\b^\bullet&(a\leq b)\end{cases}
$$

ですから

$$
\begin{array}{}a\boxplus b^\bullet\bigtriangledown c\boxplus (\boxminus b)\Rightarrow\begin{cases}a\bigtriangledown c\boxplus (\boxminus b)&(a>b)\\b^\bullet\bigtriangledown c\boxplus (\boxminus b)&(a\leq b)\end{cases}\end{array}
$$

これが下の場合になってしまうと厄介です。
何でこんなことになったかというと、$${b\boxplus(\boxminus b)=b^\bullet}$$になることにあるわけです。

前回見たように、バランス数は確かにゼロのような役割を担います。
しかし、元のトロピカルにはちゃんと零元として$${-\infty}$$がいますし、そもそも対称化の際に零元として$${\varepsilon=\begin{pmatrix}-\infty\\-\infty\end{pmatrix}}$$を導入していました。

つまり、対称化によってゼロの役割が二つに分かれてしまったとも言えます。
現に

$$
b\boxplus(\boxminus b)\sim\varepsilon
$$

としてみますと、

$$
\begin{array}{}a\boxplus b\bigtriangledown c&\Rightarrow &a\boxplus b\boxplus (\boxminus b)\bigtriangledown c\boxplus (\boxminus b)\\&\Rightarrow&a\boxplus \varepsilon\bigtriangledown c\boxplus (\boxminus b)\\&\Rightarrow&a\bigtriangledown c\boxplus (\boxminus b)\end{array}
$$

これならうまくいきます。
そこで、移項操作についてはちょっとズルいようですが、

$$
a\boxplus b\bigtriangledown c\Rightarrow a\boxplus \varepsilon \bigtriangledown c\boxplus (\boxminus b)
$$

とします。
バランス数って面倒だなぁ。

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さて、最後に残された1つ目の疑問、「等式の解とバランス式の解は等しいか」ですが、これはそもそもの等号、バランス記号の性質をあたるのがいいのかと思います。
つまり、

・$${y}$$と$${b}$$が等しい時のみ$${y\bigtriangledown b}$$になるか。

これについては少しわかりにくいのですがちゃんと成立しています。
というのも我々が扱っている数は対称化された数ですが、ただの対象化された数ではなく、通常数と$${-\infty}$$から二つ要素を選んだ組を要素の大小で同一視しています。
無論それを対称化と改めて言っているわけですが、当初のバランス等式の抱えていた問題、推移律の破綻は既にしっかり解決した状態にいるわけです。

唯一問題を抱えているのはバランス数の場合です。
バランス数では$${\bigtriangledown}$$の推移律がおかしくなることは前回見た通りです。
やっぱりバランス数は曲者だな。

厄介に厄介。2階に厄介で10階の身の上。
本日はこの辺で。