数学が教える最強の家計管理術：線形計画法で支出を最適化！
日常生活で支出を管理する際に、限られた予算の中で効率的な配分を見つけることは非常に重要だ。線形計画法は、このような最適化問題を解決するための強力なツールだ。ここでは、線形計画法を用いて予算内で最適な支出配分を見つける方法を詳しく説明する。
＊これによって得られるのは、
一定の予算内で得られる最大の”満足度”である
❓❓問題の設定❓❓
今回の問題では、次のような状況を考える。
予 算 🪙 ：15万円
支出項目✅ ：食費、交通費、娯楽費
それぞれの支出項目の配分を最適化するために、以下のように変数を定義する。
🍚 x1：食費に充てる金額
🚃 x2：交通費に充てる金額
🎮 x3：娯楽費に充てる金額
🔢🔢目的関数の設定🔢🔢
各支出項目に対する効用（満足度）を考える。効用とは、ある支出を行うことで得られる満足度や価値を指す。以下のように考えてみよう
🍚 食費：1万円使うと、栄養のバランスが取れた食事が取れるため、満足度が高い。
🚃 交通費：1万円使うと、通勤や通学がスムーズになり、時間やストレスが軽減されるため、一定の満足度が得られる。
🎮 娯楽費：1万円使うと、趣味やレジャー活動でリフレッシュでき、満足度が非常に高い。
各項目の満足度を数値で表す。今回は次のようにした（人によってまちまちだろう）
c1 = 10（食費の効用🍚）
c2=5 （交通費の効用🚃）
c3=15 （娯楽費の効用🎮）
目的関数zは、総満足度を最大化する形で設定される。
具体的には、
となる。
❗❗制約条件の設定❗❗
また、各支出項目の金額は負にならないため、次のような非負制約も含まれる。
🟩🟩具体的な例での解法🟩🟩
シンプルな例を用いて実際に解いてみよう。予算15万円の中で、食費、交通費、娯楽費にどのように配分するのが最も効率的かを考える。
例えば、以下のように設定する：
食費 🍚 （1万円使うと満足度10）： x1
交通費🚃 （1万円使うと満足度5） ： x2
娯楽費🎮 （1万円使うと満足度15）： x3
🌠🌠解法の流れ🌠🌠
✅初期の基本実行可能解を見つける
制約条件を満たす初期の解を見つける。例えば、全ての変数を0とする解（すべての支出項目に0円を配分する）が基本実行可能解となる。
✅ピボット操作を行う
目的関数を改善する方向に向けて、変数の値を調整する。これを繰り返し、目的関数の値が最適化されるまで操作を続ける。
✅最適解の特定
ピボット操作を繰り返した結果、これ以上目的関数の値を改善できない状態になったら、その時点の解が最適解となる。
例えば、最適解が以下のように得られたとしよう。
x1=50,000（食費に5万円）
x2=30,000（交通費に3万円）
x3=70,000（娯楽費に7万円)
この解により、総満足度ｚは
ｚ＝10 × 50,000 + 5 × 30,000 + 15 × 70,000 = 1,650,000
となり、予算内で最も効率的な支出配分が達成される。
線形計画法を用いることで、限られた予算の中で最適な支出配分を見つけることができる。各支出項目の効用を考慮し、目的関数と制約条件を設定することで、効率的な支出管理が可能となる。この手法を用いて、日常生活における支出のバランスを取り、貯金や他の重要な経済活動を最適化することができるのだ。
といった具合で、今回は数学をテーマに論じてみた。
線形計画法を何とか節約のテーマに落とし込んだ感じだ。数学的に誤っている箇所があればコメントいただきたい。
これを参考にしたからと言って貯金がたまるわけでも節約がはかどるわけでもないだろう。
ただ私のちょっとした興味をつぶやいてみただけだ。
そういえば、昨日初めて有料記事を書いてみた。それなりに書いたつもりだ。節約貯蓄のテーマは、なかなかネタが豊富にあるわけではない。定期的に更新するのも今後おそらく大変になってくるだろう。ただ、応援の気持ちでぜひ、読んでみてほしい。それが励みとなりモチベーションにつながる。今後ともよろしくお願いします。
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