フーリエ級数展開は関数の座標を決めている

ほとんどの工学部の学生はフーリエ級数展開を学ぶと思うが，これが何をしているかということを，イメージを持って理解しておいて欲しい．というのも，何の因果か，大学３回生を対象にした，フーリエ級数展開やフーリエ変換の講義を担当しているからだ．これらに限らず，数学を勉強するときは，イメージを持つことが大切だ．式変形ができても，そのイメージを持てていないと，実際に使うのは難しい．

あなたが今いる場所はｘ，ｙ，ｚの３つの座標 (x, y, z) で表現できる．この３つの座標を使うと，他の誰かの場所も特定できる．我々は３次元空間に生きているからだ．２人がどれだけ離れているかは距離を計算すればわかる．（時間は無視）

さて，関数 f(x) も無限に存在する．x の多項式であったり，指数関数であったり，三角関数であったり，何でもありだ．それらの関数はどの程度似ていて（近くて），どの程度異なる（遠い）のだろうか．それを知るためには，関数 f(x) の座標を求めればよい．

座標を求めると言っても，ｘ，ｙ，ｚ座標系が使えるわけではない．では，どのような座標系を使えばいいのか．パッと思い付くのは，ｘ，ｙ，ｚ座標系のように，座標軸が互いに無関係な（直交している）座標系を使えばいいだろうということだ．そのような座標系を直交座標系という．直交座標系はいくつもあるが，フーリエは三角関数が座標軸（の向きを表すもの）として使えることに気付いた．それがフーリエ級数展開だ．

座標軸（の向きを表すもの）と書いたが，線形代数で習う「基底」というやつだ．互いに直交する基底は直交基底というのだった．思い出そう．

ある関数 f(x) は３つの三角関数で表現できるかもしれない．ちょうど，ｘ，ｙ，ｚの３次元空間であなたや私の位置を記述できるように．{ 1, sin(x), cos(x) } だけで f(x) が表現できるなら，上図（右）のようになる．

別の関数 f(x) は正弦関数だけで記述できるかもしれない．奇関数であればそうなる．ある関数 f(x) を記述するためには無限個の三角関数が必要になるかもしれない．これは無限個の座標軸を用いて関数 f(x) の位置を特定することに相当する．

三角関数 { 1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), ... } を座標軸（の向きを表すもの）として，関数の座標を求める．あるいは関数の正体を暴く．これがフーリエ級数展開であり，そのとき求めたフーリエ係数が座標となる．

この直交分解のイメージが持てると，パーシバルの等式が三平方の定理の拡張であることがわかるだろう．さらに，フーリエ変換やウェーブレット変換，主成分分析など，色々な方法がスッキリと整理できる．

（高校数学までの知識があれば読めるようにしたかったので，雑な説明だけど，イメージが大切なのは確かだ）

（2020年5月20日追記）
ある方からこの記事についてのコメントをいただいた．私もそうだったが，こういう深いところで理解する経験をして欲しい．

この幾何学的な道具立てを用いた一般化した概念は、とても豊かで直感的で、初めて理解した時には目の鱗が何枚でも落ちる体験でした。
「任意の関数は内積空間内におけるベクトルであり、ありとあらゆる正規直交基底で張る(展開する)事が出来る」というのは本当に美しい数学的光景ですね。

© 2020 Manabu KANO.