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Pythonで数学をやってみよう！- オイラーのγの近似値 2 - 数列の和を求める。

donguri

調和数列（ちょうわすうれつ、harmonic sequence または harmonic progression）とは、各項の逆数を取ると等差数列となる数列である。ピタゴラス音律では、ドの弦の長さを 1 とすると、ソは 2/3、1オクターブ高いドは 1/2 の長さになる。各項の逆数はそれぞれ 1, 3/2, 2 となり、公差が 1/2 の等差数列となる。よって、1, 2/3, 1/2 は調和数列である。

数列の和を求めるプログラムを見ていきます。等差数列や等比数列の第n項までの和を求める場合は公式が使えるので、単純にそれらの公式を使って計算すれば済みます。なお、数列の和のことを級数と呼ぶこともあります。

コードを書いて実行してみます。

調和数列の和

def sumharmonic(m):
   sum = 0
   for k in range(1,m+1):
      sum += 1/k
   return sum

と定義して、

sumharmonic(100)

としてやれば合計が出ます。

オイラーのγの近似値

調和数列の和は、mの値をどんどん大きくすると、無限大に発散することが分かっています

プログラムで無限に足し算を行うことはできないので、近似値を求めるためにmに好きな値を指定して計算できるようにしましょう。

lnというのはlog n ということで、

import math

def sumharmonic(m): 
  sum = 0 
  for k in range(1,m+1):
    sum += 1/k 
  return sum - math.log(m)

return sum - math.log(m)

sumからmath.log(m)を引き算します。logを使うためにmathをimportしてからコードを書きます。

ネイピア数(e)の近似値を求める

ネイピア数（自然対数の底e＝2.71828...）を求めていくのですが、そもそも対数とは、

ネイピア数とは、

今回提示してあるコードです。公式をコードに。

import math

def myexp(n):
 　　sum = 0
　　　　for i in range(n):
　　　　sum += 1 / math.factorial(i)
　　　　return sum

公式

スタートはn=0、そこから順に足していきます。何を足すかというと

n!

“!“がつけると階乗という意味になるため、
Pythonでは関数factorial()を使って表現し、必要な算術式は

1 / n!

で、これを公式では連続的に足していく(シグマ)操作をしているので

　for i in range(n):
　　　　sum += 1 / math.factorial(i)

for in 文を使って連続的に足して、変数sumに追加します。

それでは

myexp(10)

として実行します。

2.7182815255731922

と答えが出てきます。

Σの計算はコードではfor in文で実装できます。その取り出した数字を公式の計算式に適応し、順次足していきます。

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