音楽は数学で表現できるのか（その1）

ピアノの鍵盤は88のキーからできている。つまり，88の異なる周波数を出すことができる。これは，数学で言うと，88の独立空間からなるという。なぜなら，2つの異なる周波数を掛け算して積分するとゼロになるからだ。掛けて積分するというのは，ベクトルでいうところの内積と同じ。ゼロになるということは直交しているということ。つまり，掛けて積分したものがゼロになるということは，その2つの周波数の波形が直交していて，そのそれぞれが，基底になり得る（次元をもつ）ということ。平たくいうと，88鍵の鍵盤は，そのそれぞれが1つずつの次元の基底になっているということだから，88次元の空間を作ることができる。ちなみに，ベクトルではなくて，波形 = 関数が次元を持つという考え方を数学の分野では，functional analysis という。私は，数学者ではなく，数学は独学だから，日本語名は知らない。

面白いのは，数学的概念である「直交」（あるいは独立）は，人間が感覚として捉えられる点である。違う2つの鍵盤を押すと，和音を形成するとともに，人間は，2つの別の音が鳴っていることを知覚することができる。

では，音楽とは何か。ピアノ曲であれば，時間という変数に従って，88次元の空間の1点を移ろっていくことと定義できる。つまり，時間 t に対して定義された，88次元中の点の軌跡 trajectory ということができる。もちろん，その次元の成分は，その鍵盤を叩く強さである。音は波形であり，周波数には位相もあるから，各次元の成分は強さと位相を同時に表す複素数で表現できる。つまり，ピアノで表現できる音楽は

　　x(t) ∈ C^88

と書けてしまう。

ここまで来ると，ピアノ曲を聴いて喜怒哀楽を感じることができるのであれば，それを数学的に表現できるのではないかと考え始める。その2に続く。