確率∞ part2 ～問題編～

1 コインを同時にn枚投げ、表がX回出たらその回数だけサイコロを投げる。そのうち1または2の目が出た回数をY回とする。
(1)Xの期待値を求めよ。
(2)Yの期待値を求めよ。

答え(1)n/2(2)n/6

2 1からnまでの数字が1つずつ書かれたn枚のカードから1枚を無作為に引き、そのカードの数字をXとする。100円を支払ってからカードを引くとpX+q円もらえる。
(1)Xの分散を求めよ。
(2)p、qを自然数とする。このゲームで得をする条件を求めよ。

3 
(1)123456が書かれた2つのサイコロを同時に投げる。出た目の和の期待値と分散。
(2)134568が書かれたサイコロと、122334と書かれたサイコロを同時に投げる。出た目の和の期待値と分散。

4 最初の持ち点aからサイコロをn回振って、1か2が1回出たら1点、2回目に出たらさらに2点与え、そこで終了する。n回までに1回ならa+1点、0回ならa－m点与える。このゲームの持ち点の期待値を求めよ。

5 サイコロを4回振って、1、2、3、4、5、6が出た回数をそれぞれa、b、c、d、e、fとする。さらにa、b、c、d、e、fのうち最大値x、1以上の最小値yとする。y=1、2、4となる確率をそれぞれ求めよ。

答え 25/27 5/72 1/216

6 自然数m、nは2≦m≦nを満たす。1からnまでの数字が書かれたn枚のカードからm枚を取り出すとき、数字の最大値X、最小値Yとする。X、Yの期待値を求めよ。

7 サイコロを8回投げて、偶数が出た回数をm回とする。m(8－m)の期待値を求めよ。

答え 14