確率∞ ～問題編～

まずは易しめ。

1 AとBの2人が1枚ずつ同時にコインを投げる試行を繰り返し行う。1回の試行につき表が出れば1点、裏が出れば0点とする。
(1)1回の試行後に2人の得点が同じになる確率
(2)2回の試行後に2人の得点が同じになる確率
(3)3回の試行後に2人の得点が同じになる確率
(4)4回の試行後に2人の得点が同じになる確率
を、それぞれ求めよ。

 答え(1)1/2(2)3/8(3)5/16(4)35/128

おまけ
(5)3回の試行の後にはじめて2人の得点が同じになる確率
(6)n回の試行の後に2人の得点の合計が3の倍数になる確率

(5)1/16

2 今度は1と同じ試行において、表は2点、裏は1点与える。
(1)2人同時に4点以上になる確率
(2)2人同時に4点以上になり、一方は5点、もう一方は4点になる確率
(3)2人同時に4点になり、その後どちらか一方だけ先に8点以上になる確率

答え(1)15/32(2)25/128(3)901/8192

3 理系
 A、B、Cはどの2人が対戦しても勝つ確率と負ける確率は等しい。また引き分けはないとする。まずはAとBが対戦して、勝ったほうがCと対戦する。このようにn回目に対戦した方がn+1回目にもう一人と対戦することを繰り返し、3人のうち誰かが連勝したところで優勝とする。Cが優勝する確率を求めよ。

答え 2/7

4 1から16までの数字が書かれた16枚のカードがある。それぞれのカードを取り出す確率は等しい。
(1)1枚取り出して数字を記録してもとに戻し、また枚取り出して数字を記録する。1枚目、2枚目の数字をそれぞれa、bとするとき、a<2bとなる確率
(2)1枚ずつ順番に2枚取り出して数字を記録する。1枚目、2枚目の数字をa、bとするときa<2bとなる確率
(3)3枚同時に取り出すとき、数字の積は3の倍数でないが和が3の倍数になる確率

5 白、赤、黄、青の4色のカードがn枚ずつあり、1枚につき1つずつ1からnまでの数字が書いてある。この4n枚のカードから無作為に1枚を取り出す。取り出したカードの数字と、カードの色ごとに白0、赤1、黄2、青3を足したものを得点とする。得点の期待値を求めよ。

6 AとBが、a個の席がある円いテーブルとb個の席がある円いテーブルのどちらかをともに1/2の確率で選び、さらにそのテーブルのどこかに無作為に選んで座る。2人が隣り合わせになる確率を求めよ。

7 10個の区別のつかない球があり、1が書かれた球が5個、3が書かれた球が3個、5が書かれた球が2個である。この中から同時に4個取り出す。1、3、5の書かれた球が2個揃ったところでそれぞれ1、3、5点与える。
(1)得点として考えられる数字を全て答えよ。
(2)1点のとき、3種類が取り出される条件つき確率を求めよ。

答え(1)1、2、3、4、5、6、8
(2)6/11