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こんにちは。今回は無限等比数列の極限です。 無限等比数列とは等比数列の項がいつまでも続くというもので、公比に依存して収束や発散が決まります。－1＜公比≦1 は収束、それ以外は発散か振動ということを覚えていればいいです。ただ、これも複数の等比数列の組み合わせの場合はくくりだしなどを利用することになるので、その点を気づけるようにできればいいはずでしょう。 また、これは公比が変数という問題が多々出ます。このときは収束か発散か、条件を場合分けすることで解くので、場合分けの練習にも
こんにちは。今回からは極限の分野です。 この分野は直感で判断すると確実に間違うので式変形がとても重要になります。今までの数学は直感で解けます(とはいっても本当にできるのは本当に一部です。大口叩いていますが著者もできませんでした)が、これは別です。 特に差や商は直感で極限をとろうとすると∞－∞とか∞/∞とかあってはいけない状況になります。このときの変形の方法(くくりだしや約分、分母分子中に分数をとるなど)は覚えておきましょう。大問のうちの最初(や2，3個目)の小問になりやす
こんにちは。今回は逆関数と合成関数です。これは微分積分に直接つながるものです。 逆関数と聞いて難しいように思えます(事実本当に難しい)が、xとy を入れ替えた、y=xについて対称な関数であるだけです。定義域・値域も入れ替わりが起こります。これを覚えればあとは大丈夫でしょう。高校の範囲内では定義と微分積分の式で多く出てきますが、後述する合成関数の方が出番が多いです。また、指数関数の逆関数が対数関数であるということくらいは分かっていてもいいでしょう。 さて、合成関数です。関数の
こんにちは。今回は各種関数の回です。各種関数といっても前半は気をつければ簡単です。 分数関数は変数が分母にある「反比例」です。これは中学の反比例とそんなに変わらないと思いますが、グラフを描くときは2本の曲線になるので、漸近線の存在を忘れずにしながらも、ちょうどいい点を打ってきれいに曲線を描きましょう。分からないなら図にするのが早いのは変わりません。また、方程式や不等式は変数のある分母部分が0にならないように条件設定をして式を解きましょう。とはいえ、不等式は先に図示した方が確
こんにちは。今回は極座標の話です。 前回の考え方にもありましたが、まさに距離+角度で座標を記述するという方法です。まず、これを思い出すのに直交座標系と三角比を考えます。 …というかそれができれば終わりです。これ一つで直交座標↔極座標の変換はできます。代入、式変形、時に加法定理の3つを利用すればいいので、特にここでは新しく公式とうたうものを覚える必要はありません。最初から極座標表示するのが苦手なら、直交座標をわざわざ出し、変換しましょう。 と、これで極座標の話は終わりで
こんにちは。今回は図形と複素数の話です。とはいっても内分や外分、重心などの条件はベクトルや座標平面上とほぼ変わりません。が、これの真価は図形の角の大きさや距離の計測にあります。 例えば、円はある特定の1点からの距離が同じ点の集まりなので、1点を固定して変化する複素数と差をとり、絶対値が等しくなるという条件をかければ表現できます。|z-(1+i)|=3 のように。初見の人には厳しいと思いますが、円の定義を思い出せばちゃんと分かるはずです。 次に三角形の形状です。三点が複素
こんにちは。今回は複素数平面での回転移動の説明です。 今まで座標平面上で平行移動、対称移動、回転移動をやったと思いますが、座標平面では回転移動はとても面倒であったことでしょう。しかし、複素数の性質と、角度+距離という表現のしかた(極形式)で回転移動を簡単に表すことができます。 三角比を参考にして図を描いてみると、 x = r cosθ、y = r sinθ というような表現ができます。複素数平面では、y座標は虚部にあたるので該当する複素数は z = r (cos
こんにちは。東北大学の佐々木です。今回からは数学Ⅲに入っていきます。 まずは「複素数を平面上で表す」ということについての話です。急に複素数を図形のように扱えるのかという意見もおありでしょうが、流石に今までのグラフのように y=f(x) の関数で表すとかはしません。それでは乱雑な図ができてしまいます。ここで、ある複素数について実部を横軸、虚部を縦軸にとって、さも図形であるように扱っていこうというのがテーマです。 まずは数学Ⅱで学んだ複素数の性質をなぞって図形に表していくとこ
こんにちは。東北大学の佐々木です。 前回までは高校数学の誰もが習う(であろう)内容を深掘りして、必要以上の解説や、どこから取り組むのがいいかを記事にしてきました。しかし、次回からは数学Ⅲというみんながみんな習うものではない内容の話になります。 数学Ⅲというのは「理系だけでしょww」とか「役に立たないでしょww」とか言われる分野ではありますが、私はこう思います。 「数学Ⅲが一番ダイレクトに役立つ分野だろ」と。 数学Ⅱ･Bまでも同様にしばしば「役に立ってんの？」とは言われ
