さるぶつ道場 円運動4解答

回転板上で物体がすべることなく倒れる条件

　問題はこちらです．

　物体は摩擦力を向心力として，角速度 $${\omega}$$ の等速円運動をする．物体の加速度の大きさは $${r\omega^2}$$ ，向きは円の中心方向なので，回転板上で物体とともに運動する観測者から見ると，図のように，物体には $${ F=mr\omega^2}$$  の大きさの遠心力がはたらくように見える．

図

(1) 物体とともに運動する観測者から見ると，物体にはたらく静止摩擦力 と遠心力 がつりあっているので，

$$
\begin{array}{}
R-F&=&0\\
R&=&F\\
&=&mr\omega _0^2
\end{array}
$$

(2) 遠心力を $${F}$$ ，最大摩擦力を $${R_0}$$ とすると，物体がすべり出す直前は， $${F=R_0}$$ なので，

$$
\begin{array}{}
F&=&R_0\\
mr\omega_1^2&=&\mu mg\\
\omega _1&=&\sqrt{\frac{\mu g}{r}}
\end{array}
$$

(3) 物体が倒れ始めるとき，垂直抗力 $${N}$$ の作用点は図の点Pに達する．点Pのまわりの重力と遠心力の力のモーメントを考えると，

$$
\begin{array}{}
W\cdot \frac{b}{2}-f\cdot \frac{a}{2}&=& 0\\
mgb-mr\omega_2^2a&=& 0\\
\omega _2&=&\sqrt{\frac{b g}{ar}}
\end{array}
$$

(4) すべることなく倒れるためには，$${ \omega_1>\omega_2}$$ であればよい．

$$
\begin{array}{}
\omega_2&<&\omega_1\\
\sqrt{\frac{bg}{ar}}&<& \sqrt {\frac{\mu g}{r}}\\
\mu&>& \frac{b}{a}
\end{array}
$$

　剛体がすべり出すことなく倒れる条件は，下の動画を参考にしてください．