さるぶつ道場 音4解答

スピードガンの仕組み

　問題はこちらです．

　斜め方向のドップラー効果では，音源に向かう成分に注目しましょう．$${v}$$  を分解することができれば，後はドップラー効果の導出過程と同じです．(5)はどのように近似するか考えてみましょう．(6)は(5)の結果を利用します．$${\theta}$$ の範囲に注意しましょう．

(1)

　波の公式 $${v=f\lambda}$$ より，

$$
\begin{array}{}
c&=&f_0\lambda _{\rm P}\\
\lambda _{\rm P}&=&\frac{c}{f_0}
\end{array}
$$

(2)

図3

　図3より，Ｐの速度のＯに向かう成分は $${v\cos\theta}$$ なので，$${v=f\lambda}$$ より，

$$
\begin{array}{}
c+v\cos\theta &=&f_{\rm P}\lambda {\rm P}\\
f{\rm P}&=&\frac{c+v\cos\theta }{\lambda _{\rm P}}\\
&=&\frac{c+v\cos\theta }{c}f_0
\end{array}
$$

(3)

図4

　図4より，Ｏから見たＰの速さは $${v\cos\theta}$$ なので，$${v=f\lambda}$$ より，

$$
\begin{array}{}
c-v\cos\theta &=&f_{\rm P}\lambda \\
\lambda &=&\frac{c-v\cos\theta }{f _{\rm P}}\\
&=&\frac{(c-v\cos\theta)c }{(c+v\cos\theta)f_0}
\end{array}
$$

(4)

　電磁波の速さそのものは変化しないので，$${v=f\lambda}$$ より，

$$
\begin{array}{}
f&=&\frac{c}{\lambda}\\
&=&\frac{c+v\cos\theta}{c-v\cos\theta}f_0
\end{array}
$$

(5)

$$
\begin{array}{}
\Delta f&=&f-f_0\\
&=&\frac{c+v\cos\theta}{c-v\cos\theta}f_0-f_0\\
&=&\frac{c+v\cos\theta-(c-v\cos\theta)}{c-v\cos\theta}f_0\\
&=&\frac{2v\cos\theta}{c-v\cos\theta}f_0\\
\end{array}
$$

　分母・分子を $${c}$$ で割ると，

$${\Delta f=\frac{\frac{2v}{c}\cos\theta}{1-\frac{v}{c}\cos\theta}f_0}$$

　$${c\gg v}$$ より $${\frac{v}{c}\ll 1}$$ なので， $${1-\frac{v}{c}\approx 1}$$ と近似できる．ゆえに，

$${\Delta f=\frac{2vf_0}{c}\cos\theta}$$

(6)

図5

　図5より，$${x\rightarrow -\infty}$$ で $${\theta =0}$$ より，$${\Delta f=\frac{2vf_0}{c}}$$ ，$${x=0}$$ で $${\theta =\frac{\pi}{2}}$$ より　$${\Delta f=0}$$ ，$${x\rightarrow \infty}$$ で $${\theta =-\pi}$$ より，$${\Delta f=-\frac{2vf_0}{c}}$$ となるので④．