さるぶつ牧場 等速円運動2

円錐側面内部での質点の運動

　次の文中の①～⑦の（　）に適する数式を入れよ．また，問に答えよ．

図1

　図１のように，曲面 S は2つの水平面によって切り取られた，頂角が $${2\alpha}$$ の円錐側面の一部である．円錐の軸は鉛直方向で，円錐の軸に沿って鉛直上向きに $${z}$$ 軸をとり，円錐の頂点を原点 $${O}$$ として，水平面内に $${x}$$ 軸，及び $${y}$$ 軸をとる．Sの内部はなめらかで，Sの下端の $${z}$$ 座標を $${d}$$ ，上端の $${z}$$ 座標を $${2d}$$ とする．重力加速度の大きさを $${g}$$ とする．

　はじめに，質量 $${m}$$ の質点をSの内側に沿って，$${z=z_0}$$（ $${d<{z_0}<2d}$$ ）の水平面内で等速円運動させた．質点が曲面Sから受ける垂直抗力の大きさ $${N}$$ は（①）と表されるので，質点の角速度 $${\omega_0}$$ は（②）である．質点の角速度を $${\omega_0}$$ より大きくすると，質点はSの内側に沿って上昇し， $${\omega_0}$$ より小さくすると，質点は下降するので，質点は水平面を運動しない．しかし，このような場合も，質点にはたらく力の水平成分は常に円錐の軸に向かっており，質点を $${xy}$$ 平面に投影してできる点の運動は，惑星の運動と同様に面積速度一定の法則が成り立つ．

　質点を点PからSの下端の円周に沿って，速さ $${u_0}$$ で打ち出したとき，質点を $${xy}$$ 平面に投影してできる点の面積速度は（③）である．質点がSの下端から落ちたり，上端から飛び出したりせずに運動するための，$${u_0}$$ の最小値 $${u_1}$$ は(④)である．また最大値 $${u_2}$$ は（⑤）である．

　質点を $${u_0}$$ （ $${u_1<{u_0}< {u_2}}$$ ）で打ち出したとき，質点は $${z=z_0}$$ 上の点Qを通過した．点Qを通過するときの質点の速さ $${u}$$ は（⑥），水平面との成す角を $${\theta}$$ とすると，$${\cos\theta}$$ は（⑦）である．

問　文中の太字の部分について，運動方程式を用いて説明せよ．

　解答はこちらです．