さるぶつ道場 円運動2解答

円錐側面内部での質点の運動

　問題はこちらです．

　①，②図2のように，質点が受ける垂直抗力を分解して，鉛直方向の力のつりあいを考えます．また，垂直抗力の水平成分が向心力になっていることに気付くと，②も解けます．③問題の指示通り解けば良いのですが．ケプラーの第2法則を思い出すとイメージしやすいと思います．④，⑤最小値は下端で等速円運動するときで，最大値は上端に達するときである．上端に達したときの質点の速さは， $${xy}$$ 平面に投影した点の速さに等しいことを用いて，力学的エネルギー保存則を考えます．⑥力学的エネルギー保存則で考えましょう．⑦点Qでの速度の水平成分は $${xy}$$ 平面に投影した点の速さであることに気付きましょう．問については，等速円運動の運動方程式から $${N}$$ と $${\omega}$$ の関係を示し，鉛直方向の運動方程式を立てて説明します．

図2

①質点の鉛直方向の力のつりあいを考えると，

$$
\begin{array}{}
N\sin\alpha-mg&=&0\\
N&=&\frac{mg}{\sin\alpha}\\
\end{array}
$$

②半径は $${z_0\tan\alpha}$$ ，向心力は $${N\cos\alpha }$$ なので，等速円運動の運動方程式より，

$$
\begin{array}{}
mz_0\tan\alpha\cdot \omega_0^2&=&N\cos\alpha\\
mz_0\omega_0^2\tan\alpha&=&\frac{m g}{\sin\alpha}\cos\alpha\\
\omega_0&=&\frac{1}{\tan\alpha}\sqrt\frac{ g}{z_0}
\end{array}
$$

③面積速度 $${s}$$ は，円錐の軸からの距離と速さ（速度ベクトル）を辺とする三角形の面積なので，

$${s=\frac{1}{2}u_0d\tan\alpha}$$

④質点が下端（ $${z=d}$$ ）で等速円運動するときが，$${u_0}$$ の最小値 $${u_1}$$ である．②の結果を利用して，等速円運動の速さの公式 を用いると，

$$
\begin{array}{}
u_1&=&d\tan\alpha\cdot\frac{1}{\tan\alpha}\sqrt\frac {g}{d}\\
&=&\sqrt{gd}\\
\end{array}
$$

⑤ $${u_0>u_1}$$ のとき，質点はSの内側に沿って上昇する．質点の最高点がSの上端（ $${z=2d}$$ ）であるときの $${u_0}$$ が，最大値 $${u_1}$$ である．また，質点がSの上端に達したときに上端から飛び出さないためには，質点の速度の向きは水平でなければならい．すなわち，質点の上端での速さは，$${xy}$$ 平面に投影してできる点の速さに等しい．面積速度は一定のなので，上端での質点の速さ は，

$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}u_0d\tan\alpha&=&\frac{1}{2}v_{2d}2d\tan\alpha\\
v_{2d}&=&\frac{1}{2}u_0
\end{array}
$$

　力学的エネルギー保存則より，

$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}mu_2^2&=&\frac{1}{2}mv_{2d}^2+mgd\\
u_2&=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}u_0\right)^2+2 gd}\\
&=&\sqrt{\frac{1}{4}u_0^2+2gd}\\
\end{array}
$$

⑥力学的エネルギー保存則より，

$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}mu_0^2&=&\frac{1}{2}mu^2+m g(z_0-d)\\
u^2&=&u_0^2-2 g(z_0-d)\\
u&=&\sqrt{u_0^2-2g(z_0-d)}\\
\end{array}
$$

⑦点Qでの $${xy}$$ 平面に投影してできる点の速さを $${v}$$ とすると，面積速度は一定なので，

$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}u_0d\tan\alpha&=&\frac{1}{2}vz_0\tan\alpha\\
v&=&\frac{d}{z_0}u_0
\end{array}
$$

図3

　図3のように，点Qでの速度の水平成分は $${v}$$ なので，

$$
\begin{array}{}
\cos\theta=\frac{v}{u}&=&\frac{\frac{d}{z_0}u_0}{\sqrt{u_0^2-2 g(z_0-d)}}\\
&=&\frac{du_0}{z_0\sqrt{u_0^2-2 g(z_0-d)}}\\
\end{array}
$$

問　太字の部分について
　質点の等速円運動の加速度より，

$$
\begin{array}{}
mz_0\tan\alpha\cdot \omega^2&=&N\cos\alpha\\
N&=&\frac{mz_0\sin\alpha}{\cos^2\alpha}\omega^2
\end{array}
$$

　質点の鉛直方向の運動方程式は，

$$
\begin{array}{}
ma_z&=&N\sin\alpha-mg\\
ma_z&=&\frac{mz_0\sin\alpha}{\cos^2\alpha}\omega^2\cdot\sin\alpha-mg\\
a_z&=&z_0\omega^2\tan^2\alpha- g\\
\end{array}
$$

　$${\omega =\omega_0}$$ のときは $${a_z=0}$$ なので，質点は水平面内を運動するが，$${\omega >\omega_0}$$ のときは $${a_z>0}$$ なので質点はSの内側に沿って上昇し，$${\omega <\omega_0}$$ のときは $${a_z<0}$$ なので質点は下降する．