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さるぶつ道場 円運動2解答
円錐側面内部での質点の運動
問題はこちらです.
①,②図2のように,質点が受ける垂直抗力を分解して,鉛直方向の力のつりあいを考えます.また,垂直抗力の水平成分が向心力になっていることに気付くと,②も解けます.③問題の指示通り解けば良いのですが.ケプラーの第2法則を思い出すとイメージしやすいと思います.④,⑤最小値は下端で等速円運動するときで,最大値は上端に達するときである.上端に達したときの質点の速さは, $${xy}$$ 平面に投影した点の速さに等しいことを用いて,力学的エネルギー保存則を考えます.⑥力学的エネルギー保存則で考えましょう.⑦点Qでの速度の水平成分は $${xy}$$ 平面に投影した点の速さであることに気付きましょう.問については,等速円運動の運動方程式から $${N}$$ と $${\omega}$$ の関係を示し,鉛直方向の運動方程式を立てて説明します.
![](https://assets.st-note.com/img/1670552772807-z0qhvq5MCd.jpg)
①質点の鉛直方向の力のつりあいを考えると,
$$
\begin{array}{}
N\sin\alpha-mg&=&0\\
N&=&\frac{mg}{\sin\alpha}\\
\end{array}
$$
②半径は $${z_0\tan\alpha}$$ ,向心力は $${N\cos\alpha }$$ なので,等速円運動の運動方程式より,
$$
\begin{array}{}
mz_0\tan\alpha\cdot \omega_0^2&=&N\cos\alpha\\
mz_0\omega_0^2\tan\alpha&=&\frac{m g}{\sin\alpha}\cos\alpha\\
\omega_0&=&\frac{1}{\tan\alpha}\sqrt\frac{ g}{z_0}
\end{array}
$$
③面積速度 $${s}$$ は,円錐の軸からの距離と速さ(速度ベクトル)を辺とする三角形の面積なので,
$${s=\frac{1}{2}u_0d\tan\alpha}$$
④質点が下端( $${z=d}$$ )で等速円運動するときが,$${u_0}$$ の最小値 $${u_1}$$ である.②の結果を利用して,等速円運動の速さの公式 を用いると,
$$
\begin{array}{}
u_1&=&d\tan\alpha\cdot\frac{1}{\tan\alpha}\sqrt\frac {g}{d}\\
&=&\sqrt{gd}\\
\end{array}
$$
⑤ $${u_0>u_1}$$ のとき,質点はSの内側に沿って上昇する.質点の最高点がSの上端( $${z=2d}$$ )であるときの $${u_0}$$ が,最大値 $${u_1}$$ である.また,質点がSの上端に達したときに上端から飛び出さないためには,質点の速度の向きは水平でなければならい.すなわち,質点の上端での速さは,$${xy}$$ 平面に投影してできる点の速さに等しい.面積速度は一定のなので,上端での質点の速さ は,
$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}u_0d\tan\alpha&=&\frac{1}{2}v_{2d}2d\tan\alpha\\
v_{2d}&=&\frac{1}{2}u_0
\end{array}
$$
力学的エネルギー保存則より,
$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}mu_2^2&=&\frac{1}{2}mv_{2d}^2+mgd\\
u_2&=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}u_0\right)^2+2 gd}\\
&=&\sqrt{\frac{1}{4}u_0^2+2gd}\\
\end{array}
$$
⑥力学的エネルギー保存則より,
$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}mu_0^2&=&\frac{1}{2}mu^2+m g(z_0-d)\\
u^2&=&u_0^2-2 g(z_0-d)\\
u&=&\sqrt{u_0^2-2g(z_0-d)}\\
\end{array}
$$
⑦点Qでの $${xy}$$ 平面に投影してできる点の速さを $${v}$$ とすると,面積速度は一定なので,
$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}u_0d\tan\alpha&=&\frac{1}{2}vz_0\tan\alpha\\
v&=&\frac{d}{z_0}u_0
\end{array}
$$
![](https://assets.st-note.com/img/1670552378176-uLFmvoJDCC.jpg)
図3のように,点Qでの速度の水平成分は $${v}$$ なので,
$$
\begin{array}{}
\cos\theta=\frac{v}{u}&=&\frac{\frac{d}{z_0}u_0}{\sqrt{u_0^2-2 g(z_0-d)}}\\
&=&\frac{du_0}{z_0\sqrt{u_0^2-2 g(z_0-d)}}\\
\end{array}
$$
問 太字の部分について
質点の等速円運動の加速度より,
$$
\begin{array}{}
mz_0\tan\alpha\cdot \omega^2&=&N\cos\alpha\\
N&=&\frac{mz_0\sin\alpha}{\cos^2\alpha}\omega^2
\end{array}
$$
質点の鉛直方向の運動方程式は,
$$
\begin{array}{}
ma_z&=&N\sin\alpha-mg\\
ma_z&=&\frac{mz_0\sin\alpha}{\cos^2\alpha}\omega^2\cdot\sin\alpha-mg\\
a_z&=&z_0\omega^2\tan^2\alpha- g\\
\end{array}
$$
$${\omega =\omega_0}$$ のときは $${a_z=0}$$ なので,質点は水平面内を運動するが,$${\omega >\omega_0}$$ のときは $${a_z>0}$$ なので質点はSの内側に沿って上昇し,$${\omega <\omega_0}$$ のときは $${a_z<0}$$ なので質点は下降する.
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