さるぶつ道場 運動量保存則7解答

ばねで連結した2物体の壁との衝突

　問題はこちらです．

　問題をよく読んで，現象を把握することと，速度に注意することが大切です．また壁と衝突するとき以外は，弾性力(内力)しかはたらかないと見なせるので，運動量保存則が成り立ちます．運動量保存則が成り立つとき，重心速度は一定であることを思い出しましょう．(2)では，小球Ｂの衝突直後，小球Ａはそのままの速度 $${-v_0}$$ で進んでいることに気付きましょう．(3)では重心速度が一定なので，重心と2つの小球の間の距離は，質量比の逆比になることに注目しましょう．また，衝突してから次の衝突をするまでの間は，弾性力(保存力)しか仕事をしないので，力学的エネルギー保存則が成り立ちます．(4)は基本的に(3)と同じ問題です．ただし，問題文中の「小球Ａ，Ｂが同時に一旦静止して」から，2つの小球は同じ周期で運動していることを読み取ると，小球Ｂが2回目の衝突をするとき，小球Ａは速さ $${v_0}$$ で $${x}$$ 軸正の向きに運動していることが分かると思います．

(1) はね返り定数の定義より，

$${e=-\frac{\frac{v_0}{2}}{-v_0}=0.5}$$

(2) ばねの自然長を $${l}$$ とすると，衝突直後の2つの小球の重心の座標 $${x_G}$$ は，

$${x_G=\frac{ml+2m\cdot 0}{m+2m}=\frac{l}{3}}$$

　衝突後から微小時間 $${\Delta t}$$ 経過したときの重心の座標を $${x_G+\Delta x_G}$$ ，また，小球Ａの座標を $${l+\Delta x_A}$$ ，小球Ｂの座標を $${\Delta x_B}$$ とすると，

$${x_G+\Delta x_G=\frac{m(l+\Delta x_A)+2m\Delta x_B}{m+2m}=\frac{(l+\Delta x_A)+2\Delta x_B}{3}}$$

　重心の速さ $${v_G}$$ は．

$${v_G=\frac{x_G+\Delta x_G-x_G}{\Delta t}}$$
      $${=\frac{1}{\Delta t}\left(\frac{(l+\Delta x_A)+2\Delta x_B}{3}-\frac{l}{3}\right)}$$
     $${=\frac{1}{3\Delta t}(\Delta x_A+2\Delta x_B)}$$
     $${=\frac{\frac{\Delta x_A}{\Delta t}+2\frac{\Delta x_B}{\Delta t}}{3}}$$ …①

　$${\frac{\Delta x_A}{\Delta t}=-v_0}$$ ，$${\frac{\Delta x_B}{\Delta t}=\frac{v_0}{2}}$$ なので，

$${v_G=\frac{-v_0+2\cdot \frac{\Delta v_0}{2}}{3}=0}$$

(3) 重心は静止しているので，重心と2つの小球の間の距離の比は変化しない．図2のように，2つの小球が静止したときの，重心から見た小球Ａ側とＢ側のばねの縮みをそれぞれ $${d_A}$$ ，$${d_B}$$ とすると，$${d_A:d_B=2:1}$$ である．したがって，ばねの縮みを $${d_0}$$ とすると，$${d_0=d_A+d_B=3d_B}$$ である．

図2

　図2-Ⅱでの力学的エネルギーを $${E_2}$$ ，図2-Ⅲでの力学的エネルギーを $${E_3}$$ とすると，

$${E_2=E_3}$$
$${\frac{1}{2}mv_0^2+\frac{1}{2}\cdot 2m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2=\frac{1}{2}kd_0^2}$$
$${\frac{1}{2}k(3d_B)^2=\frac{3}{4}mv_0^2}$$
$${kd_B^2=\frac{1}{6}mv_0^2}$$
$${d_B=v_0\sqrt{\frac{m}{6k}}}$$

　小球は質点と見なせるので，$${x_1=d_B=v_0\sqrt{\frac{m}{6k}}}$$

(4) 小球Ｂが2回目の衝突した直後の速さ $${v_B'}$$ は，

$${0.5=-\frac{v_B'}{-\frac{v_0}{2}}}$$
$${v_B'=\frac{v_0}{4}}$$

　したがって，2回目の衝突した後の重心の速さ $${v_G'}$$ は，(2)の結果（①式)を利用して，

$${v_G'=\frac{v_0+2\cdot \frac{ v_0}{4}}{3}=\frac{1}{2}v_0}$$

　ばねが最も縮んだとき，小球ＡとＢは重心に対して静止しているので，図3のように，2回目の衝突直後とばねが最も縮んだときの間で，力学的エネルギー保存則を用いると，

図3

$${\frac{1}{2}mv_0^2+\frac{1}{2}\cdot 2m\left(\frac{v_0}{4}\right)^2=\frac{1}{2}\cdot 3m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2+\frac{1}{2}kd^2}$$
$${\frac{1}{2}kd^2=\frac{3}{8}mv_0^2}$$
$${d=\frac{v_0}{2}\sqrt{\frac{3m}{2k}}}$$

ばねが最も縮んだときの，小球Ａ，Ｂの運動エネルギーを忘れないこと．