"General theory of relativity"(Dirac)を読む12

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Diracの一般相対論を読む｜云南きのこ老師｜note

Chapter 12は"The condition for flat space"ということで平坦な時空の条件について。

時空が平坦なら、斜交座標を選ぶことができ、また計量テンソル$${g_{\mu\nu}}$$を定数に取ることができる。すると、計量テンソルの時間微分からなるクリストッフェル記号は０になり、さらに曲率テンソルも０になる。すなわち、平坦な時空の場合、曲率テンソルは０になる。

逆に、$${R_{\mu\nu\rho\sigma}}$$が消えるとき、時空が平坦になることを示すことができる。ある場所$${x}$$でベクトル$${A_{\mu}}$$を考える。このベクトルを$${x+dx}$$に平行移動し、さらにそこから$${x+dx+\delta x}$$へと移動する。もし、$${R_{\mu\nu\rho\sigma}}$$が消えるなら、$${x}$$から$${x+\delta x}$$に移動し、その後$${x+\delta x +d x}$$に移動したベクトルは等しくなるはずである。そのため、ベクトルは経路に依らず、共変微分は０となる（$${A_{\mu:\nu}=0}$$）あるいは、共変微分の式（10.1）より

$$
A_{\mu, \nu}=\Gamma_{\mu \nu}^\sigma A_\sigma\tag{12.1}
$$

となる。

（補足）$${R_{\mu\nu\rho\sigma}=0}$$のとき、ベクトルの平行移動が経路に依らない事の証明。

$${x}$$でのベクトル$${A_{\mu}}$$を$${x+dx}$$にまで平行移動したときのベクトルを$${A_{\mu}+dA_{\mu}}$$とする。このとき、式（7.10）より、

$$
dA_{\mu}=\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}A_{\rho}dx^{\nu}\tag{1}
$$

である。さらに、$${A_{\mu}+dA_{\mu}}$$を$${\delta x}$$平行移動させたベクトルは

$$
A_{\mu}+dA^{\mu}+\delta(A_{\mu}+dA_{\mu})\tag{2}
$$

であるが、これは式（1）で

$$
A_{\mu}\rightarrow A_{\mu}+dA_{\mu}=A_{\mu}+\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}A_{\rho}dx^{\nu}\tag{3a}
$$

$$
d\rightarrow \delta\tag{3b}
$$

と置き換えてあげれば良い。ただし、クリストッフェル記号$${\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}}$$は点$${x}$$での値なので、$${x+d x}$$での値に変換するため、

$$
\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}\rightarrow \Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}+\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu,\rho}dx^{\rho}\tag{4}
$$

としなければならない。以上の置き換えに対して、式（1）は

$$
\begin{aligned}
\delta\left(A_\mu+d A_\mu\right) & =\left(\Gamma_{\mu \nu}^\sigma+\Gamma_{\mu \nu}^\sigma, \rho d x^\rho\right)\left(A_\sigma+\Gamma_{\sigma \beta}^\alpha A_\alpha d x^\beta\right) \delta x^\nu \\
& =\Gamma_{\mu \nu}^\sigma A_\sigma \delta x^\nu+\Gamma_{\mu \nu}^\sigma \Gamma_{\sigma \beta}^\alpha A_\alpha d x^\beta \delta x^\nu+\Gamma_{\mu \nu, \rho}^\sigma A_\sigma d x^\rho \delta x^\nu
\end{aligned}\tag{5}
$$

となる。ただし、3次の項は無視した。この式を式（2）に代入すると、

$${x \rightarrow x+dx \rightarrow x+dx+\delta x}$$の経路でのベクトルは、

$$
A_\mu+\Gamma_{\mu \nu}^\sigma A_\sigma d x^\nu+\Gamma_{\mu \nu}^\sigma A_\sigma \delta x^\nu+\Gamma_{\mu \nu}^\alpha \Gamma_{\alpha \rho}^\sigma A_\sigma d x^\rho \delta x^\nu+\Gamma_{\mu \nu, \rho}^\sigma A_\sigma d x^\rho \delta x^\nu
$$

となる。一方、$${x \rightarrow x+\delta x \rightarrow x+\delta x +dx}$$の経路の場合、$${d}$$と$${\delta}$$を入れ替えれば良いので、

$$
A_\mu+\Gamma_{\mu \nu}^\sigma A_\sigma \delta x^\nu+\Gamma_{\mu \nu}^\sigma A_\sigma d x^\nu+\Gamma_{\mu \nu}^\alpha \Gamma_{\alpha \rho}^\sigma A_\sigma \delta x^\rho d x^\nu+\Gamma_{\mu \nu,\rho}^\sigma A_\sigma \delta x^\rho d x^\nu
$$

となる。この2つの経路の差は、

$$
\begin{aligned}
(\text { 経路 1) }-(\text { 経路 2) } & =\left(\Gamma_{\mu \nu, \rho}^\sigma-\Gamma_{\mu \rho, \nu}^\sigma+\Gamma_{\mu \nu}^a \Gamma_{\alpha \rho}^\sigma-\Gamma_{\mu \rho}^\alpha \Gamma_{\alpha \nu}^\sigma\right) A_\sigma \delta x^\nu d x^\rho \\
& =R_{\mu \rho \nu}^\sigma A_\sigma \delta x^\nu d x^\rho
\end{aligned}
$$

となる。尚、適宜ダミーの添字の変更を行った。この結果を見ると、曲率テンソルが0になるので、ベクトルの平行移動は経路に依らず同じ結果を与える。

（証明終わり）

式（12.1）を満たすベクトル場があるスカラー量の勾配である場合を考える。すなわち、$${A_{\mu}=S_{,\mu}}$$としてみる。すると、

$$
S_{, \mu \nu}=\Gamma_{\mu \nu}^\sigma S_{, \sigma}\tag{12.2}
$$

となる。クリストッフェル記号の下の添字の対称性より、$${S_{,\mu\nu}}$$と$${S_{,\nu\mu}}$$は等しくなり、式（12.2）は積分可能である。

さて、式（12.2）を満たす4つのスカラー量を新しい座標成分$${x^{\alpha^\prime}}$$に用いるとする。すると、

$$
x_{, \mu \nu}^{\alpha^{\prime}}=\Gamma_{\mu \nu}^\sigma x_{, \sigma}^{\alpha^{\prime}}
$$

となる。式（3.7）の変換則より、

$$
g_{\mu \lambda}=g_{\alpha^{\prime} \beta^{\prime}} x_{, \mu}^{\alpha^{\prime}} x_{, \lambda}^{\beta^{\prime}}
$$

である。この式の両辺を微分して式変形すると、

$$
\begin{aligned}
g_{\mu \lambda, \nu}-g_{\alpha^{\prime} \beta^{\prime}, \nu} x_{, \mu}^{\alpha^{\prime}} x_{, \lambda}^{\beta^{\prime}} & =g_{\alpha^{\prime} \beta^{\prime}}\left(x_{, \mu \nu}^{\alpha^{\prime}} x_{, \lambda}^{\beta^{\prime}}+x_{, \mu}^{\alpha^{\prime}} x_{, \lambda \nu}^{\beta^{\prime}}\right) \\
& =g_{\alpha^{\prime} \beta^{\prime}}\left(\Gamma_{\mu \nu}^\sigma x_{, \sigma}^{\alpha^{\prime}} x_{, \lambda}^{\beta^{\prime}}+x_{, \mu}^{\alpha^{\prime}} \Gamma_{\lambda \nu}^\sigma x_{, \sigma}^{\beta^{\prime}}\right) \\
& =g_{\sigma \lambda} \Gamma_{\mu \nu}^\sigma+g_{\mu \sigma} \Gamma_{\lambda \nu}^\sigma \\
& =\Gamma_{\lambda \mu \nu}+\Gamma_{\mu \lambda \nu}=g_{\mu \lambda, \nu}
\end{aligned}
$$

となる。最後の等号では式（7.6）を使った。これより、

$$
g_{\alpha^{\prime} \beta^{\prime}, \nu} x_{, \mu}^{\alpha^{\prime}} x_{, \lambda}^{\beta^{\prime}}=0
$$

を得る。これが任意の$${x^{\alpha}}$$に対して成り立つためには、$${g_{\alpha^{\prime}\beta^{\prime},\nu}=0}$$である必要があるので、新しい座標系での計量テンソルは定数でなければならない。したがって、平坦な時空は斜交座標で表される。