【学年通信】　無限ということ

数は「無限」である。数をどんどん大きくしていっても尽きることはなく、それは無限に存在している。このことは証明するまでもないであろう

同じ無限でも、三年生で学習する「無限」は少々趣が異なる。それは「数が連続的に無限に存在する」という「無限」である

別な表現をすると、数と数の間には必ず数が存在する。数全体は、そうした無限に存在する数によって、隙間なく構成されているということである。このことを専門的には「数の稠密性」と言ったりする

そうした、数の様子を間近で見ることができるのが、小学校の時からおなじみの数直線である。この数直線上には、今まで学習した数（有理数）、つまり、整数、分数（小数）のすべてが順序よく並んでいる。そして、最近学習した「分数で表すことができない数（無理数）」が有理数と有理数の間を埋め、直線を形成している

しかしながら、そもそも数は有理数と無理数によって、本当に隙間なく構成されているのだろうか。もしそうでないとすれば、数直線の所々には隙間ができることになる。数直線は直線ではなく破線（点線）となり、小学生の時から行っている、定規で数直線を引くという行為そのものが怪しいものになる。これには何かしらの証明が必要になりそうである

結論から言うと、今まで、なんとなくそうであろうと理解してきた通り、数は隙間なく連続的に無限に並んでおり、数直線は一本の直線である。数が無限にびっしりと並ぶ様子は想像し難いが、このことは高校以上の数学を学ぶことで証明が可能となる

聞くところによると、物理学では、それ以上分けることができない物質の根源的な単位が決まっており、連続的に無限とよべる物はないという。だとすると、物理学は連続性を論じる学問ではなく、そこが数学という学問との違いの一つになるのであろう

こんなことを考えていると、暑苦しい夜がさらに暑苦しくなるので筆を擱く。「無限」はバズ・ライトイヤーの決め台詞「無限の彼方へ、さあ行こう」（”To infinity,and beyond!”）の無限くらいにとどめておいた方が気楽で健康的である。