「ベクトルの内積は図示できるのか？」問題と、目に見えないものの力強さ。
高校数学の話題で、なかなか困難なものに、
「ベクトルの内積は図示できるのか？」
というものがある。
「こうすれば図示できる」という話も確かにあるが、
何とも言えない歯切れの悪さが残る。
「この目的でベクトルの内積は発見・発明されたの？」
というさらなるモヤモヤが湧いてくる。
これには、少し切り口を変えた議論が適切だ。
つまり、
「ベクトルの内積はどんな意義・成果をもたらしたか？」
と
「なぜベクトルの内積は図示が容易でないか？」
という問いをつなげることである。
整理し直すと、スタートラインは、
「図示が容易でないものが、いかにして意義を持ちうるか？」
になる。
改めてこの問いを眺めると、数学はことさらに、この種の発見・発明を多く持っている学問であることに気づく。
「複素数・虚数」は、電気工学、流体力学など、非常に多くの物理現象の説明に役に立つ。
「マイナス」「ルート」「指数・対数」「円周率」、、、などなど、程度によっては「図示できる」と言える。
しかし、
「いちいち図示しなくても計算できてしまう」ところにこそ、
数学の大きな強みが発揮されている
という事実は、私が言うに及ばない。
ベクトルの内積を題材に、「目に見えないものの力強さ」について、
論考していく。
「図示できないものを、式で表現したところに、
ベクトルの内積が打ち破った壁があり、
それこそが、大きな意義・成果である」
もう少し踏み込んで、
Before：「図示できるもの」＝図形的な理解
After：「図示が困難である量」＝位置エネルギー（Potential Energy）
としてみよう。
Beforeの世界観として、有名なものには、「永久機関」が挙げられる。
人々は、永久機関を作り出すことが、
可能であると信じていた ／
可能であれば良いと願っていた ／
可能なはずはないと思っていたが証明することができずにいた、、、
という状態にいた。
※永久機関：外部からのエネルギー供給なしで、動き続ける機関や、
仕事をし続ける機関。
つまり、Afterの
「位置エネルギーの発見」は、
「エネルギー保存則の発見」とほぼ同一であり、
これをもって、
「永久機関の否定・反証」が実現したのである。
歴史的には、産業革命＝蒸気機関の発明によって、
人間の発揮すべきエネルギーの一部は化石燃料に置き換えられ、
「それをいかに最大化するか」という時代のテーマの解決が見込めてきた。
「最大化」は、数学・計算の手法によって、特定可能になった。
ベクトルの内積は、
・エネルギー保存則の発見と表裏一体。
・以前には、否定・反証しきれなかった、永久機関の存在を否定した。
・エネルギー効率は、100％以上にはならないことを証明した。
・エネルギー効率を、いかに100％に近づけるかの探究ステージの開幕。
という、時代の大きな変化を、同時にもたらした。
現代において、これらは「古典物理学」として、単独でも扱われることがある。まさに、見えないものを式で表すだけで、これらを単独で、シンプルに機能させることができたことも、ベクトルの内積の大きな成果である。
あまりに大きな変化であったがゆえに、すぐには理解されなかったことも、発見の力強さを物語っている。
「目に見えない量」を直接に表現することは、時代が下った今日でも、十分に困難なことである。
改めて、
「ベクトルの内積の図示は容易でない。だからこそ、その意義は大きい。」
と、確認したい。
「大切なことは目に見えない」という、児童文学で人気のフレーズの引用は、ここでもどうやら避けられないようだ。
"WHY is Vector's inner product hard to illustrate?" problem, and powerfulness of the invisible.
A high school math topic, and a difficult one at that,
"Can the inner product of a vector be illustrated?"
One of the most difficult topics in high school mathematics is
"Can the inner product of vectors be shown in a diagram?
I know there is certainly a story that says, "It can be illustrated in this way,"
but it leaves one with an indescribable sense of awkwardness.
However, it is hard to say what the answer is.
The question is,
"Was the inner product of vectors discovered and invented for this purpose?"
This is a further blurring of the issue.
To answer this question, a slightly different approach is appropriate.
In other words,
"What significance or result did the inner product of vectors bring about?"
and
"Why is the inner product of vectors not easy to illustrate?"
and
"Why is the inner product of vectors not easy to illustrate?
To rearrange, the starting line is,
How can something that is not easy to illustrate have significance?
The starting line is "How can something that is not easy to illustrate have meaning?
When we look at this question again, we realize that mathematics is a discipline that is particularly rich in discoveries and inventions of this kind.
Complex numbers and imaginary numbers are useful in explaining a great many physical phenomena, such as electrical engineering and fluid dynamics.
Minus", "root", "exponent and logarithm", "pi", and so on can be "illustrated" to some extent.
However,
It is precisely in the point where "it is possible to calculate without illustrating every single thing" that the great strength of mathematics is demonstrated,
the great strength of mathematics lies in the fact that
I do not need to go further than to say that this is a fact.
I will discuss the "power of the invisible" using the inner product of vectors as a subject,
I will discuss the "power of the invisible" on the subject of the inner product of vectors.
Where "what cannot be illustrated is expressed by an equation.
The fact that the inner product of vectors has broken down the barrier of the invisible is what I will discuss,
That is its great significance and achievement.
Let's go a little further,
Before: "What can be illustrated" = graphic understanding
After: "a quantity that is difficult to represent graphically" = Potential Energy
Let's look at it as "Before" and "After".
One of the most famous examples of the "Before" worldview is the "perpetual motion machine.
People believed that it was possible to create a perpetual motion machine,
People believed it was possible to create a perpetual motion machine.
They wished it were possible.
They thought it could not be possible, but they could not prove it,
They believed it was possible, they wished it were possible, they thought it was impossible, but they could not prove it.
Perpetual motion: An institution that continues to move and work without an external energy supply,
Permanent institution: An institution that continues to work without an external energy supply.
In other words, the "discovery of potential energy" in After
"Discovery of potential energy" is almost like "Discovery of law of conservation of energy",
is almost the same as the "discovery of the law of conservation of energy,
With this,
This is how the "negation and disproof of the perpetual motion engine" came to be realized.
Historically, the Industrial Revolution = the invention of the steam engine,
The invention of the steam engine replaced a part of the energy that humans should exert with fossil fuels,
The theme of the time, "how to maximize it," has been solved.
Maximization" became identifiable through mathematical and computational methods.
The inner product of vectors,
The inner product of vectors is inextricably linked to the discovery of the law of conservation of energy.
The existence of a perpetual motion engine, which could not be denied or disproved before, was ruled out.
Proved that energy efficiency cannot be greater than 100%.
The opening of the exploration stage to find out how to bring energy efficiency closer to 100%.
These were the major changes of the times.
In the present day, these are sometimes treated as "classical physics" on their own. The fact that we were able to make them work alone, simply by expressing the invisible in equations, was also a great achievement of the inner product of vectors.
The fact that the change was so great that it was not immediately understood is a testament to the power of the discovery.
To directly describe an "invisible quantity" is difficult enough, even today, when we live in a different era.
Once again,
"It is not easy to illustrate the inner product of vectors. That is why it is so significant."
I would like to confirm this.
The popular phrase from children's literature, "What is important is invisible," can be quoted here as well.
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