【読書メモ】今日から使える微分方程式［普及版］

こんにちは。
微分方程式の勉強がしたくて入門書的な雰囲気の本を読んだので、必要だと思った部分をメモしておきたいと思います。

読んだのはBLUE BACKSの『今日から使える微分方程式 普及版（著・飽本一裕』です。

『今日から使える微分方程式　普及版　例題で身につく理系の必須テクニック』（飽本　一裕）：ブルーバックス　製品詳細　講談社BOOK倶楽部

内容と感想

微分方程式について、例題を使って丁寧に説明されているので、微分方程式で迷ったら戻ってきたい本だと思います。

微積から始まって２階非斉次微分方程式、ラプラス変換まで、各段階の解の導出方法や、考察例を説明されているので、まさに今日から使えそうな内容が詰まっています。

基本的には常微分方程式のみなので、偏微分方程式は別の書物で学ぶ必要があります。BLUE BACKSで似たようなタイトルの微分方程式版が出ているので、次はこれを読むつもりです。

『道具としての微分方程式　偏微分編　式をつくり、解いて、「使える」ようになる』（斎藤　恭一）：ブルーバックス　製品詳細　講談社BOOK倶楽部

ネガティブな感想を書くと、微分方程式を習ったときの”結局決まった形で決まった問題にしか使わないから解を暗記すればいいんじゃないの”感は拭えなかったと思います。

練習問題がないためかもしれませんが、初見の問題で自分で式を組み立てて考察までするのは、本書を読むだけでは難しいと思います。

やはり、練習問題や実務で使ってみて体で覚えていくことが必要になりそうです。ただ、その時に手元に置いておきたい本ではあると思います。（特にたまにしか数学を使わない人にとっては丁度良い内容）

あと、ラプラス変換については適用できない場合が書かれていないので、とりあえずラプラス変換しておけば、なんでも解けそうな認識になってしまいました。実際はどうなんでしょうか。

テクニック

微分方程式から解を導出するためには、様々なテクニックが使われています。特に、よく数学を使う人が知っている細かいテクニックは、私にとってキーワードが思いつかないものが多いので、ここで出来るだけメモしておきたいと思います。
（どれも知ってる人にとっては当たり前かもしれませんが…）
（もっとあったはずなんですが思い出せない…）

部分分数分解

$$
\begin{align*}
&& \frac{px+q}{(ax+b)(cx+d)} &= \frac{r}{ax+b}+\frac{s}{cx+d} \\
\verb| | \\
&& \verb|計算方法| \\
&& \verb|(左辺)| &= \frac{r(cx+d)+s(ax+b)}{(ax+b)(cx+d)} \\
&& &=\frac{(as+cr)x+sb+dr}{(ax+b)(cx+d)} \\
&& p &= as+cr \\
&& q &= sb+dr \\
&& & \verb|ここからsとrを算出|
\end{align*} 
$$

（参考）

部分分数分解のやり方と公式。5パターンの問題から分かる変形のコツ｜アタリマエ！

対数

$$
x=e^{\log_{e}{x}}
$$

指数

$$
|x| \ll 1のとき \\
\verb| | \\
e^{x} \approx 1+x
$$

微分方程式

①
『微分方程式の特殊解の1つと、その微分方程式に対応する斉次式の一般解の和が、その微分方程式の一般解』

②

$$
\begin{align*}
& \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2}=0 \\
& \verb| | \\
& の解を以下の様におく \\
& \verb| | \\
& x= A\sin{\omega_{0}t}+Bcos{\omega_{0}t}
\end{align*}
$$

ラプラス変換

ラプラス変換表

その他

$$
\begin{align*}
& \frac{d^{2}}{dt^{2}}(x-x_{0})=k(x-x_{0})\\
& \verb| | \\
& のような場合に、\\
& \verb| | \\
& y=(x-x_{0})\\
& \verb| | \\
& と置き換えることで計算を簡単にする
\end{align*}
$$

今日は以上です。