学習日記：確率の基本｜ベイズの定理

朝：ジム、英語
午後：確率

ベイズの定理を少し勉強し始めた
楽しいかもw

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ベイズの定理の基本

P(A∣B)= P(B∣A)⋅P(A) / P(B)

​P(A∣B) は、Bが起こったときにAが起こる確率（事後確率）
P(B∣A) は、Aが起こったときにBが起こる確率（尤度）
P(A) は、Aが起こる確率（事前確率）
P(B) は、Bが起こる確率（周辺確率）

例題

ある学校で、生徒全体の10%が数学クラブに所属しています。
ある日の放課後、数学クラブの生徒が教室に残って勉強していることが多いですが、数学クラブに所属していない生徒でも時々教室に残って勉強しています。全体の5%の生徒は数学クラブに所属していないが放課後に教室に残っています。
ある日、放課後に教室に残って勉強している生徒を見つけました。この生徒が数学クラブに所属している確率はどれくらいでしょうか？

解説
まず、設定を確率に変換しましょう。

・全体の10%が数学クラブに所属している → P(数学クラブ)=0.10

・数学クラブに所属している生徒が教室に残っている確率は高いが、ここでは100%と仮定します → P(教室に残っている∣数学クラブ)=1.00

・数学クラブに所属していない生徒が教室に残っている確率 → P(教室に残っている∣数学クラブではない)=0.05

これらをベイズの定理に当てはめます。
まず、全体で放課後に教室に残っている生徒の確率 P(教室に残っている) を計算します。これは数学クラブに所属している生徒と所属していない生徒の両方が教室に残っている確率の合計です。

P(教室に残っている)=
P(教室に残っている∣数学クラブ)⋅P(数学クラブ)+
P(教室に残っている∣数学クラブではない)⋅P(数学クラブではない)

具体的な数値を入れます。

P(教室に残っている)=1.00⋅0.10+0.05⋅0.90
P(教室に残っている)=0.10+0.045=0.145

次に、ベイズの定理を使って求めたい確率 P(数学クラブ∣教室に残っている) を計算します。

P(数学クラブ∣教室に残っている)=
P(教室に残っている∣数学クラブ)⋅P(数学クラブ) / P(教室に残っている)
​
P(数学クラブ∣教室に残っている)= 1.00⋅0.10 / 0.145
​P(数学クラブ∣教室に残っている)= 0.10 / 0.145 ≈0.69

結論
したがって、放課後に教室に残っている生徒が数学クラブに所属している確率は約69%です。

このように、ベイズの定理を使うことで、観察された情報（教室に残っている）を基に他の確率（数学クラブに所属しているかどうか）を計算することができます。