one point統計学～連続型確率変数と密度関数

今日はまた分かりにくい💦という声が多い連続型確率変数です。次の❓について1000字＋絵でザックリ解説します❣

㊟少々乱暴ですが分かりやすさ優先

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✋連続型確率変数に関する質問を要約　
①縦軸はナゼ確率でなく確率密度？
②確率はナゼ面積で表されるの？
③「1点を取る確率0」がイマイチ釈然としない。

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高校までの確率変数の定義:「ある確率法則に従っていろいろな値をとる変数」は数学的に突っ込みどころ満載ですが、今回支障はないのでこの定義で行きます❣

確率変数がどんなタイプの値を取るかで、離散型と連続型に分けられます。
サイコロを2回投げたときの目の和をＸとすると、Ｘの取り得る値は飛び飛びの値; 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12、そして全ての値の確率が計算できるので、Xは離散型確率変数です。
また、ある溶液１ml中に含まれるバクテリアの個数Ｘも、0,1,2,3,…という飛び飛びの値を取る離散型確率変数。
一方、ある川で釣った鮒の体長Ｘとすると、Ｘが40cm以上の確率は非常に小さいとかXが３０ｃｍあたりの確率は大きい等、値に確率が紐づいているのでXは確率変数です。しかも長さという量は切れ目ない連続な値をとるので、Ｘは連続型確率変数です。

今回のポイントは分布関数の定義です❣
離散型から見てみましょう。

さて、連続型の場合は「確率変数の値の連続的な変化に伴って確率も連続的に変化する」という性質から出発すると、確率の変化分は分布関数で表せることが分かります❣

ここで導関数の定義から、確率の変化率が密度関数になることが分かります❣

さらに定積分の定義から、確率が密度関数のグラフとx=aとx=bの囲む部分の面積で表せることが言えます♪　　　　　　　　　　　　　　　　👉質問②

このように「ここからここまで」という幅を持った確率は定積分で表せることが分かりました。そうすると、1点を取る確率はaを限りなくbに近付けたときの確率と考えられますね。　　　　　　　　　　　　　　　👉質問③

最後は最も多い質問①です。
連続型の場合、確率変数と確率の法則の関係を表すのに、縦軸に密度をプロットするのがしっくりこないのでしょう。
ではちょっと強引に連続型と離散型の比較をしてみます。
左側が連続型、右側は離散型です。

確率変数と確率の法則の視覚的表現には、連続型は密度関数、離散型は確率関数が適していると思いませんか。　　　　　　　　　　　　　　👉質問①

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モヤモヤっとした部分に、今回の解説で何か閃いてくれたら嬉しいです❣
ではまた～👋