【お詫びの追記あり】「Dwevo」　〜期待値１のサイコロは何通りあるか？を考えてみた〜

Boolean Diceというきっかけ

２００４年、Wei-Hwa Huangさんが考案した「Boolean Dice」があります。
Boolean（ブール型）というのは「True（真）」「False（偽）」の２値しか扱わない形式です。２進数の大元となる形式で、数学者のブール（Boole）さんが代数系の概念として考えて最初に発表したので、形式の名前に入っています。

「Boolean Dice」はある法則からなるダイス１０個１セットです。その法則は、

ダイスの出目は、「１」か「０」のどちらか

です。

Boolean Dice

リンク先のアイコンを見ていただけると、ダイス１０個の内訳が描かれています（大きい描画データは、リンク先から取得できます）。
１の目が２面だけのダイスをみると、その配置によって２通りあったりとなかなか興味深い特徴が見受けられます。
このダイスセットの遊び方として、作成者のHuangさんが考えたゲームとパズルがいくつかあります。

さて、このダイスを眺めているうちに、あることを思いつきました。

全部の面が１のダイスは、期待値は１になる
↓
そのダイスの目の合計は６である
↓
ダイスの６面適当に目を６個置けば、期待値１のダイスになる
↓
「Boolean Dice」のように考えると、そのようなダイスは何通りある？

ネット上に情報がないか検索してみましたが、なかなか引っかからない。探し方が下手かも知れない。仕方がないので、自力で数え上げてみました。

【お断り：2021/02/21】
この記事には、間違っている箇所がありますが、そのまま修正せずに残しております。
この記事で書いたダイスのほかに３つ見つかりました。
そのへんの経緯などは、発見者の刺身夜行さんが下のnoteに書いております。
刺身夜行さん、ありがとうございます。

期待値１のサイコロ（Dice with expected value 1）

今回の数え上げ作業した際「Boolean Dice」は道標として非常に役に立ちました。１の面に数字を入れていって合計６にすればいいので。
さて、調査結果ですが、展開図にして描いてみました。

はい、アルファベット２６文字ピッタリ割り振れました。……と、軽く感想を書いていますが、いやーほんまむちゃくちゃ驚きましたぜ実際。

あと一個ダイスがあれば、３×３×３の立方体を組み上げられる

からです。しかも「外側から見えないサイコロ」は１個なので、追加の１個を使えばよいので、むちゃくちゃパズル向きなセットです。
ひとまず、今回数え上げたダイス26個のセットを「Dwevo（Dice with expected value 1(One)の略）」と呼ぶことにして、可能性を探ってみます。

【お詫びと追記：2021/02/20】
「Dwevo」は２６個セットである、としましたが刺身夜行さんから指摘がありまして、さらに２個存在しました（合計２８個の１セットです）。
目のない面を０としてあらわすと、
　Ä　　　　　　Ö
　３　　　　　　２
　１１００　　　２１００
　１　　　　　　１
の２つです。
Äは「アーウムラウト」、Öは「オーウムラウト」。ドイツ語のアルファベットです。

【お詫びと追記：2021/02/21】
さらに、もう１駒見つかりました。
　Ü
　２　　　　　　
　１２００
　１
ということで、２９駒１セットになります。
Üは「ウーウムラウト」。これもドイツ語のアルファベットです。

【追記：2021/02/22】
３つの新種は、刺身夜行さんのnoteの表記に揃えました。
独自色を出して混乱させてはいけませんね、と思った次第です。

刺身夜行さん、ありがとうございます。

１００均にある、木の立方体（１辺３cm）と丸シールで作ってみた。ぴったりのケースはなかなかないものの、やや立方体型フィギュアケースで収めることができた。

「Dwevo」でパズル

正確には「Dwevo」に、新たなダイス１個をくわえて２７個にした「Dwevo+1」で考えてみます。追加するダイスですが「すべての面が「０」」にします。理由はのちほど。

２７個のダイスを３×３×３の立方体を組み上げる、これを基本のルールとします。外側に向いているダイスは２６個ありますので、それらのダイスをどう置くか、というパズルの問題が作れます。例えば、

・外側に向いているダイスの出目を合計して最小にする

「Dwevo」のダイスだけを考えると、最小は１になります。「Dwevo+1」で考えると、追加のダイスを使えば最小は０になります（おあずけにしていた、理由の回答は以上）。逆に、

・外側に向いているダイスの出目を合計して最大にする

問題も考えられます。答えは考えてください。他に、

・１の目の面と０の目の面だけ外側へ向くように置いて、普通のサイコロと同じように組み立てる
・１から６の目の面それぞれ１つづつ外側へ向くように置いて、（なんか偏ってるけど）普通のサイコロと同じように組み立てる
・普通のサイコロと同じように組み立てるけど、たとえば４の面であれば下の図のように「１」から「４」の目を置く。

・１の目の面と０の目の面だけ外側へ向くように置いて、すべての面を市松模様にする
・１の目の面と０の目の面だけ外側へ向くように置いて、上の方は０、下の方は１がくるようにする（液体の入ったグラスの見立て）
・組み上げた立方体の６面それぞれの合計が６面ともに等しい

などなど。結構可能性もってますね。

「Dwevo」でボードゲーム

ボードゲームのルールを考えてみます。「Dwevo」のダイスは期待値が１ですので、例えば「ダイス１個＝１金」など他のものとの交換コストが単純に設定できます。ゲームルールの単純な例をあげます。

【準備】
ダイス全てを袋に入れておく。プレイヤーには一定の手持ち金を用意する。
予め勝利を判定するための基準値を決めておく（勝利の判定は後述）。

【プレイヤーのアクション】
手持ちからお金を支払う
↓
支払った分のダイスを取り出す
↓
取り出したダイスをすべて振る
↓
ダイスの出た目の合計だけ、お金を受け取る
↓
取り出したダイスをすべて袋に戻す
↓
次のプレイヤーへ

【勝利の判定】
振った目の合計が、基準を超えていたら勝利

シンプル。このままだと「出目が大きいもの勝ち」の運要素満載のギャンブルゲームです。
ということは「出目が小さい」状態でも有利になればバランスが取れそう。

「出目が小さい」ということは「「０」の出目が結構出ている」

ので、「０」が出たらその数だけ別の価値（例えばアクションポイント）を与えて、有利なオプションを獲得できる（たとえば「３」の目が出たら、３倍にして扱う）ようにすると、面白くなりそうです。

このアイディアあげるんで、誰かバランス整えて作ってください。正直欲しいので、連絡待ってます。