せまゲー生半可集（１１）～「Octal Game」……せまゲー界の『５０４』
前回の記事はこちら。
今回以降から、長丁場で数回続けていく予定です。
『５０４』とは
ボードゲームのデザイナーのなかで、一番の変態は誰か。
諸説ありますが、やはりFriedmann Friese（フリードマン・フリーゼ）さんです。
次々と発表するボードゲームは、なんというかクセがすごいのです。
その中でも、もっともクセがすごいボードゲームは何か、と問われれば
『５０４』
でしょう。
このボードゲームの凄さは、タイトルにあります。
このゲームで遊ぶことのできるゲームの数が５０４種類あるのです。
はっきりいってアホです。
なんでそんなことになってるのか。
ゲームのテーマが９種類あります。テーマを３つ選んで、それぞれ第一テーマ、第二テーマ、第三テーマと割り振ります。
この割り振りは、９×８×７＝５０４、なのです。
【余談】
ちなみに、Friedmann Frieseさんは、自分の名前のイニシャル「FF」にあわせて、考案したゲームの大半は「頭文字Ｆの２単語」のタイトルにしています。
504は英語で「Five Hundred Four」なので、Five-Hundredとハイフンを入れると、「頭文字Ｆの２単語」になります。
しかし、ドイツ語だと「fünfhundertvier」なのですけどね。
細かいことは気にしないようにしましょう。
それぞれのテーマ即したベースとなるルールがあります。
これらを３つのルールを組み合わせるのですが、ルールの組み合わせによっては噛み合わなかったり矛盾が起きたりするので、例外処理のルール調整を加えつつ、なんとか整合性を保ちつつ、５０４種類のゲームを遊ぶようにしているようです。
よくぞまあ、作ったもんだ。
『５０４』ように、ルールを組み合わせてゲームをうみだすモジュール構造をもった、不偏ゲームがあります。
しかも、１９６０年代に。
それこそが、
Octal Game（オクタル・ゲーム（８進ゲーム））
です。
『Octal Game』とは
英語版のWikipediaに「Octal Game」の項があります。
これを日本語でまとめ上げたブログも見つけました。
『Octal Game（８進ゲーム）』は組合せゲーム理論の有名な書籍『数学ゲーム必勝法（Winning Ways for Your Mathematical Plays）』でも取り上げられています。
１９６０年代からある、としたのは、数学者の一松信さんが１９６８年に出版した『石取りゲームの数理』で「８進ゲーム」を取り上げているからです。
さて。
「８進ゲーム」とは、どのようなゲームか。
ざっというと、不偏ゲームの代表的基本ゲーム、「ニム（石取りゲーム、三山くずしなど）」をもとにして、ルールを拡張してみたもの、です。
ニムは、石の集まり（山）の１つから１つ以上石を取るアクションをします。
「８進ゲーム」では、「石を取ったあとの山の状態」に注目して、３つのルールを定義します。
（１）消滅：１つの山から石をすべて取り去って山がなくなる。
（２）残存：１つの山から石を取って、石１個以上の山が残る。
（４）分裂：１つの山から石を取って、石１個以上の２つの山に分ける。
※なんで（３）がないのか、はちょっとしたポイントなので後述します。
いいかえると、石を取ったあとに山の数は、
（１）１つ減る（-1）
（２）増減しない（±0）
（４）１つ増える（+1）
ことになります。
さらに、「８進ゲーム」では、石を取る個数ごとに、この３つのルールの適用不可をきめます。
その表記は、小数の形式であらわし、小数の桁数が石を取る数と対応しています。
例えば、０．１４３０７という表記は、
小数第一位：１
石を１個取るアクションは、消滅（１）しかできない。
小数第二位：４
石を２個取るアクションは、分裂（４）しかできない。
小数第三位：３
石を３個取るアクションは、消滅と残存（１＋２＝３）ができる。
小数第四位：０
石を４個取るアクションは、できない（０）。
小数第五位：７
石を５個取るアクションは、消滅・残存・分裂（１＋２＋４＝７）ができる。
であらわされます。
なぜ、（３）がなかったかというと、消滅・残存・分裂の３つのルールの組合せを８進数であらわすためだったのです。
Octal Game 0.504
では、『OctalGame（８進ゲーム）』を試しに遊んでみます。
今回『５０４』をダシに使いましたので、ここでも働いてもらい、「0.504」でプレイします。
『８進ゲーム』のルールは、石の取り方を定めており、山の構成はまったくのノータッチです。
今回は『５０４』にあやかりまして、石５個の山と石４個の山の２つを用意して、すべての石を取って２つの山をなくしたプレイヤーが勝ちとします。
さて、石取りルール「0.504」はどういうことか。
小数第一位：５
石を１個取るアクションは、消滅と分裂（１＋４＝５）ができる。
小数第二位：０
石を２個取るアクションは、できない（０）。
小数第三位：４
石を３個取るアクションは、分裂（４）しかできない。
ちなみに、石を４個以上取るアクションはできません（これは、0.50400000000……とみなしルールを理解しております）
まず、石４個の山でできる石の取り方ですが「石を１個取り、石１個の山と石２個の山に分ける（分裂（４））」の１通りしかありません（下図の上矢印ルート）。
※「石を１個取り、石３個の山を残す」のは「残存（２）」のルールなので、できません（下図の中央矢印ルート）。
ちなみに、石を３個取るアクションは、石１個の山しか残らない「残存（２）」のルールにあたります。
※石３個取りのルールは、分裂（４）だけなので、できません（下図の下矢印ルート）。
残った石１個の山と石２個の山ですが、
・石１個の山は、石１個を取ることができます（消滅（１）ができるので）。
・石２個の山は、石１個を取るのは「残存（２）」ができないし、さらに、
石２個を取ること自体が不可（０）なので、実は石２個の山はこれ以上石を取ることができません。
２つの山をあわせて１手で終了となります。
つまり、石４個の山は、手番２手（つまり偶数）で終了となります。
次に石５個の山です。
３通りの石の取り方ができます。
（１）石を３個取り、石１個の山と石１個の山に分ける（分裂（４））
（２）石を１個取り、石２個の山と石２個の山に分ける（分裂（４））
（３）石を１個取り、石１個の山と石３個の山に分ける（分裂（４））
それぞれのその先の手番ですが、
（１）は、石１個の山から石１個を取る（消滅（１））アクションが２回できます。
（２）は、石２個の山から石を取ることができないので、ゲーム終了です。
（３）は、
・石１個の山をすべて取り（消滅（１））、石３個の山１つにする（下図の上矢印ルート）
・石３個の山から石１個を取り（分裂（４））、石１個の山３つにする（下図の下矢印ルート）
の２通りのアクションがあります。
どちらのアクションも、次のアクションは石１個の山２つになります。
結局、４回の手数ですべての石を取ることができます。
ということで、山５個での石取りアクションの回数は、
（１）３回
（２）１回
（３）５回
で、奇数回数です。
結果、全体（石５個の山と石４個の山）で石取りアクションの回数は、
奇数（石５個の山）＋偶数（石４個の山）＝奇数
なので、
実は先手が勝利するゲームとなっていました。
締め
ということで、『Octal Game（８進ゲーム）』の紹介でした。
ところで、ニムを『８進ゲーム』であらわす（１つの山から任意の数の石を取ることができて、山を分裂させない）と、
0.333333333333333333333333……
と無限に３（消滅と残存）が続きます。
次回は、『８進ゲーム』で表現ができる別のゲームを紹介します。
では。