せまゲー生半可集（１０）～Sid Sacksonの『Interplay』は不偏ゲームなのか？
前回の記事はこちら。
今回は、去年12月の「アブストラクトゲーム Advent Calendar 2022」で書いた記事からの続きみたいな内容となります。
ということで前半は、去年の記事をところどころなぞっていきます。
Sid Sacksonの『Interplay』
Sid Sackson（シド・サクソン）さんの『Interplay（インタープレイ）』は、以下の記事で紹介しました。
Boardgamegeekの項目はこちら。
大雑把なルールは、
・手番のプレイヤーは、盤面にある１個のコマを動かす。動いたマスには別のピンを刺し、ゲーム中二度と同じマスに移動できない。
・移動した後、隣接したマスにあるピンの数だけ、得点がはいる。
・途中、コマが動けなくなるか、用意したピンをすべて刺しきったら、ゲーム終了。
・合計得点の多いプレイヤーの勝利。
です。
『インタープレイ』は２人用ゲームで、どちらのプレイヤーもコマの動かし方は同じルールです。
『インタープレイ』を紹介した記事で、不偏ゲームとはなにかを書きました。
引用すると、
２人交互にプレイしていて、仮に一方のプレイヤーが手番をパスしたあと、もう一方のプレイヤーの手番でできることが、パスしたプレイヤーの選択肢といっしょ、ということです。
さらにもう少し見方を変えて、
・先手の手番で終了する＝奇数手で終了する
・後手の手番で終了する＝偶数手で終了する
とすると、１人で遊ぶのとさほど変わらないゲームです。
なので、『インタープレイ』は不偏ゲームである、と思われます。
『Interplay』は不偏ゲームではない？
ところがですね。
Boardgamegeekには「"Impartial" 2-player Combinatorial games（公平な２人組合せゲーム）」という、リストがあります。
不偏ゲームを集めたリストでして、そこに『Interplay（インタープレイ）』も入って然るべきと思われますが、除外されています。
リストを立てたHerbさんが、これは不偏ゲームではないと判断した次第です。
その理由について、ちゃんと述べているのが素晴らしい。
【引用】
I think you could have a position where a player who is ahead on points jumps to a "closed space" from which there was no subsequent move to end the game. That would not be the move that a player who was behind in points would make.
【翻訳】
ポイントで先行しているプレーヤーが、ゲームを終了するためのその後の移動がない「閉鎖されたスペース」にジャンプする位置を設定できると思います。それは、ポイントで遅れをとっているプレーヤーが行う動きではありません。
https://boardgamegeek.com/geeklist/173292/impartial-2-player-combinatorial-games
いわゆる、負けが決定するような動きをつくることができるから、公平ではない、つまり不偏ゲームではない、ということです。
と、これまた『インタープレイ』を紹介した記事で書きまして、再度引用しました。
実際どうなのか？
前の記事では自分なりの意見を先延ばしにしておりました。
２ヶ月ほど経過しましたので、そろそろ自分の意見を表明しようかと思います。
先に、結論から書きます。
正直よくわかりませんが、多分違う。
でも、せまゲーでいいんじゃない？
不偏ゲームの終了条件と勝利条件
Wikipediaに「不偏ゲーム」の項があります。
後半に、不偏ゲームとはなにか、の条件５つが書かれています。
【引用】
（１）2人のプレーヤーは、terminal positionに達するまで交互に交代しなければならない。
（２）1人のプレイヤーがterminal positionに達したとき、勝者が決まる。
（３）有限回の操作でterminal positionに達する。
（４）各状態でどちらのプレーヤが手を打つにしても、動かす選択肢の集合が常に等しい。
（５）常にお互い全ての情報を持っていて、偶然性に決して左右されない。
※ただし、カッコ数字は、珍ぬが追加しています。
上の引用で「terminal position（ターミナル・ポジション）」という、意味不明と思われる言葉があります。
これも、同項目で説明されています。
【引用】
ゲームは、二人零和有限確定完全情報ゲームであるため、これ以上の移動が不可能な局面(terminal position)まで進められ、その結果、勝者、敗者が定まる。
※ただし、太字は、珍ぬが追加しています。
例えば、ニム（三山くずし）のように、すべての山の石（コマ）をすべて取りきってしまいこれ以上取れない、全く石（コマ）がない状態が、不可能な局面（ターミナル・ポジション）になります。
しかし、例外と思えるゲームもあります。
たとえば「せまゲー生半可集」でも紹介したゲームで『Notakto（ノタクト）』や『Traffic Lights（トラフィック・ライツ）』などは、まだコマを置いてアクションが出来る状態なのに、３目並ぶとゲームが終了となります。
この場合は、３目並ぶ状態がターミナル・ポジションだ、と決めることで不偏ゲームとしてみなしています。
ところで、ゲームが終了する条件は、５つの条件の２番目、
（２）1人のプレイヤーがterminal positionに達したとき、勝者が決まる。
にあたり、不偏ゲームの終了条件となります。
で、勝利条件なのですが、
特に明記されていません。
終了したら、勝者が決まる。
それだけです。
例えば、ニム（三山くずし）だと、終了条件に達した（すべての山を取り尽くした）プレイヤーが勝者になる、あるいは、逆（ミゼールのルールの場合）に敗者となります。
数学の専門分野の１つ、組合せゲーム理論で不偏ゲームを研究では、ニム値（あるいは、グランディ数など呼び名がいくつかある）を定義しています。
大雑把にニム値はどんな数かというと、
・ニム値が０だとターミナル・ポジションの状態。
・ニム値が０でないならばターミナル・ポジションの状態ではない。
です。
数学という学問としては、とにかく一般化かつ簡素化な結果を求めていきます。
一番シンプルな勝利条件なにか。
ニムのように、ほぼ終了条件で決まる条件です。
『Interplay』の終了条件と勝利条件
本題の、『Interplay（インタープレイ）』です。
それぞれの条件を書き出してみると、
終了条件：以下の２つのどちらかを満たす。
（１）手番でコマの移動ができなくなる（ターミナル・ポジション）。
（２）規定回数の移動を行う（それぞれ１８手のアクションを行う）。
勝利条件：以下の条件で決める。
（３）ゲーム中のアクションで得たポイントの合計が多いほうが勝者。
となります。
（１）は、不偏ゲームの条件に沿っています。
（２）ですが、これを『Notact（ノタクト）』などの３目並べのように、ターミナル・ポジションとみなすのかどうか、が問題となります。
（３）は、終了条件からはおおきく離れた、独立した勝利条件です。
独立している点は、大きな問題ではありませんが、同点の場合は引き分けとなるのが、問題です。
甘くみるならば、（３）の引き分けになる場合を、どちらかを勝者にするように変更するならば、ぎりぎり不偏ゲーム（あるいは、擬不偏ゲーム（不偏ゲームもどき））としてみていいのかなあ、と思います。
締め
ということで、不偏ゲームもどきかも知れないのですが、せまゲーでいいんじゃないの、な『Interplay（インタープレイ）』について、あれこれ考えてみました。
なかなか、お固い内容になってしまいました。
次回以降ですが、固くて長くなるかも、と前フリしておきます。
では。
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか？