どんな数にも魔法をかけてご覧いれます〜魔方陣を作るまでの道のり②（１次、２次、３次）
１ はじめに
魔方陣とは、縦・横・斜めの数を足すと、すべて同じ数になる数の並びです。
前回の記事では、$${n}$$次魔方陣（$${n×n}$$の表）の縦・横・斜めの数の和（定和）は、
$${\frac{1}{2}n(n^2+1)}$$
という性質を導けました。
例えば、上の図のように４次魔方陣（４×４の表）だと
$${\frac{1}{2}×4×(4^2+1)=34}$$
というように計算でわかる。
では、この定和の性質という武器と$${4k}$$次魔方陣は作れるという武器を使って、$${n}$$次魔方陣を作るアルゴリズムを見つける長～～い旅に出発したいと思います。
２ １次魔方陣は自明
１次魔方陣は、次のようなものです。
１次魔方陣の定和は、
$${\frac{1}{2}×1×(1^2+1)=1}$$
です。ただ、１次魔方陣は表のマスは１個しかないし、１しか書かれていないから上の図の魔方陣で完成です。自明です。
３ ２次魔方陣は・・・
２次魔方陣は表に１～４の数が書かれています。定和は、
$${\frac{1}{2}×2×(2^2+1)=5}$$
です。
魔方陣になる前は、下のような表です。
さて、斜めの和は５（＝定和）です。しかし、「２」と「３」を動かしても縦と横の和で５を作ることができません。
よって、２次魔方陣は作ることができません。
４ ３次魔方陣は・・・
２次魔方陣は表に１～９の数が書かれています。定和は、
$${\frac{1}{2}×3×(3^2+1)=15}$$
です。
魔方陣になる前は、下のような表です。
では、魔方陣を作っていきます。
・ ２行２列のマスを埋める
最初にどのマスから埋めるか考えると、２行２列のマスがいいと考えました。理由は、３次魔方陣の場合は定和１５を作らないといけない３つの数の組み合わせは８通りあります。その８通りの中で２行２列のマスは、４つの和に関わっています。そのため、２行２列のマスから埋めたほうがいいと考えました。
２行２列のマス以外に入る数を、$${a}$$～$${h}$$とします。２行２列のマスに入る数を$${x}$$とします。
２つ前の図の②、⑤、⑦、⑧の和はそれぞれ１５なので、
$${(b+x+h)+(d+x+e)+(a+x+i)+(c+x+f)=15×4}$$
$${(a+b+c+d+x+e+f+g+h)+3x=60}$$
$${a+b+c+d+x+e+f+g+h=45}$$だから、
$${45+3x=60}$$
$${3x=15}$$
$${x=5}$$
よって、２行２列のマスは５です。
・ 「９」をどのマスに入れる？
次に「９」をどこに入れるか決めます。なぜ「９」なのかというと、縦・横・斜めの和が１５になるようにするとき、大きい数であればあるほど制約が大きくなるからです。
・ 「９」を四隅のマスに入れた場合
では、例えば「９」を３行３列のマスに入れたとします。そうすると、１行１列は「１」で決まりです。では、次に３行目と３列目の和が１５になるように4マスを埋めます。２数の和が「６」になる組を、残りの2,3,4,6,7,8から作ればいいです。しかしそのような2数の組は、{2,4}の１組しか作れません。よって、「９」を３行３列のマスに入れたことが間違いだったのです。
このことから、「9」は四隅に入れることができないこともわかります。
よって「9」を、2行3列のマスに入れます。すると、2行1列のマスは「1」で決定です。
・ 「８」をどこに入れる？
次に「8」を入れるマスはどこか考えます。ここで、先ほど書いた「大きい数であればあるほど制約が大きくなる」という意味がわかっていただけると思います。定和が15なので、1行3列と3行3列のマスには書けません。
では、「8」を1行2列のマスに書きます。そうすると、3行2列のマスは「2」で決まりです。
残ったのは３、４、６、７です。ただ、9が2行2列のマスにあるため、1行3列と3行3列のマスには6,7は入れられないため、3と4が入ります。ここで3列目の和が16となってしまいます。
よって、「8」を入れるマスは1行2列のマスではないと言えます。同様に3行2列、1行3列と3行3列のマスでもないです。このことから、「8」は1行1列のマスに書きます。自動的に3行3列のマスは「2」で決まり！また3行1列のマスは「6」で決定です。関連して、1行3列、3行3列、1行2列、3行2列のマスはそれぞれ「4」と「2」と「3」と「7」です。
これで魔方陣の完成です。
５ ３次魔方陣は１通りしかないのだろうか？
３次魔方陣は１通りではありません。「５」は２行２列のマスに書くことは決まっていて、その次に「９」を書くマスは４通りあります。その「９」を書くマスの位置によって、「８」を書くマスは２通りあります。よって、３次魔方陣は８通りあります。
しかし、この８通りの魔方陣を書いて分かりましたが、回転したり、対称移動したりすると、１通りしかないことが分かります。
回転したり、対称移動したりして重なるなら、同じ魔方陣とみなすとすれば、３次魔方陣は１通りしかありません。
６ おわりに
今回は、１～３次魔方陣について考え、作ることができました。しかし３次魔方陣を作る「規則性」は、市松模様の時のように規則性を見つけることができませんでした。これは３次魔方陣が特殊だからなのでしょうか？もう少し考察していけばわかるかもしれません。
また、
１次魔方陣・・・１通り
２次魔方陣・・・なし
３次魔方陣・・・１通り
ということもわかりました。$${n}$$次魔方陣は何通りあるのか調べていきます。最後まで読んでいただき、ありがとうございました！
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