角の三等分は「絶対」できないの？
こんにちは。
今回の記事では、角の三等分線は絶対にかけないのか書いていきます。
最後まで読んでいただけると、うれしいです！
１ 角の三等分線とは？
$${∠AOB}$$を三等分する直線を$${OC, OD}$$を、角の三等分線といいます。（図１）
実はこの角の三等分線の作図方法については、古代ギリシャ時代から考えられてきた問題で、１９世紀にコンパスと定規では作図不可能なことが証明されました。
角の三等分線をかくには、コンパスと定規を使う＋αが必要です。
その＋αの部分が、折り紙または曲尺です。
２ 折り紙で角の三等分線をかく
折り紙を使うと、角の三等分線をかくことができます。
実際に、角の三等分をやってみます。
今回は、角の大きさが60°の角を三等分します。
まず図２のように、下から同じ幅で２回折ります。幅は任意の長さです。
次に、図３の点Ａが線分CP上に、点Ｃが線分BE上にくるように折ります。このとき、点Aが線分CP上にきた点をA'、点Cが線分BE上にきた点をC'とします。（図４）
最後に、線分A'C'を二等分するように折ります。（図５）
線分CC', CGが∠60°の三等分線です。
・ 証明
まず、線分BC'は線分ACを垂直に二等分しています。
このことから、△ABC'とCBC'は、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同です。
合同な図形の性質より、
$${∠AC'B=∠CC'B}$$
次に、図１１の赤い線は点Aが点A'に、点Cが点C'にくるように折った折り目です。
このとき、図１１の緑と黄の三角形は、線対称だから合同です。
よって、
$${∠A'CC'は二等分されていることがわかります。
最後に、平行線の錯角は等しいから、
$${∠BC'C=∠C'CF}$$
これで、角の三等分線が作れることを示せました。
３ 曲尺で角の三等分線をかく
折り紙でできても、現実的じゃない・・・
と思っちゃいますよね。
安心して下さい。曲尺でもできます。
では、折り紙の時と同じように、60°の角を三等分していきます。
まず、OAと平行で、OAとの距離が曲尺の幅と同じ直線CDをOAの上側にかきます。（図１５）
次に、曲尺の内側のどこかがOを通り、曲尺の外側の直角が直線CD上にきて、さらに曲尺の幅の２倍（この曲尺の幅は15mmだから、倍の30mm）が直線OA上にくるようにする。（図１５）
このとき、CD上の点をP、OA上の点をQとします。
最後に、線分PQの中点Rを作図します。（垂直に等分線をかけばいいです）
半直線OP, ORが∠AOBの三等分線です。
・ 証明
点Pから半直線OAに垂線PHをおろします。
△OPRと△OQRで、
PR=QR
ORは共通
点P, Qの作図方法から
∠ORP=∠ORQ=90°
よって、
△OPR≡△OQR ①
次に、△OPRと△OPHで、
曲尺の幅は、もちろん等しいから
PR=QR
OPは共通
∠ORP=∠OHP=90°
よって、
△OPR≡△OPH ②
①、②より
△OPR≡△OQR≡△OPH
よって、
∠QOR=∠ROP=∠POH
証明終わり
４ おわりに
いかがでしたでしょうか。
このように、コンパスと定規だけではできなくても、他の道具を使えばできるというのはおもしろくないですか？
私は曲尺でできるというのを知った時、先人たちのモノづくりに対する熱意を感じました！！
最後まで読んでいただき、ありがとうございました！！
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