ナポレオンの定理って何？？

2023年9月1日 16:57

　こんにちは。

　この記事では、ナポレオンの定理について紹介します。

　このナポレオンは、「吾輩の辞書に不可能の文字はない」のナポレオンです！！

　またこの記事では、ナポレオンの定理に付随する、面白い定理を紹介していきます。
　なので、ナポレオンの定理の証明は割愛しております。
　「２　証明」にURLを貼り付けますのでそちらから飛ばれてください。

　では、紹介していきます。

１　ナポレオンの定理とは何か

　ナポレオンの定理
　△ABCの各辺に対して、それを１辺とする正三角形ABD, BCE, CAFを外側に考える。それら３つの正三角形の重心G, H, Iを頂点とする△GHIは、正三角形である。

　図１や図２のように作図すると、確かに正三角形ができそうですね！

　証明には、いくつか方法があります。
　参考にされてください。
・　余弦定理と三角形の面積を使う方法（高校数学レベル）

・　三角形の合同や相似（1, 2ページ目）や複素数を使う方法

　　△ABCの各辺に対して、それを１辺とする正三角形ABD', BCE', CAF'を内側に考える。それら３つの正三角形の重心G', H', I'を頂点とする△G'H'I'は、正三角形である。

　また、ナポレオンの定理で作った△GHIとここで作った△G'H'I'の重心は一致する。

　また、△GHIと△G'H'I'の面積の差は、最初の△ABCの面積と等しい。

　個人的には、この図５の定理は、「すげー」と思いました！！

　四辺形の各辺に対して、内側、外側、内側、外側と交互に正三角形をかき、それらの正三角形のうち四辺形と共有していない頂点を結ぶと、平行四辺形ができる。

　さて、ナポレオンの定理は、すぐに見つけられる簡単な定理ではありません。
　実際、ナポレオンがこの定理を発見したという証拠はないらしいです。
　しかし、ナポレオンは初等幾何学に強く、ラプラスやラグランジュを相手に幾何学の議論をしたという話が残っています。

　それを踏まえると、ナポレオンが発見していてもおかしくないですね。

　今回ナポレオンの定理を調べていると、面白い定理を見つけることができました。
　先人が見つけた定理の条件を少し変えて、新しい定理を見つける。
　数学はこのように発展してきたんですね。

　最後まで読んでいただき、ありがとうございました！！

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