岡潔さんが「神秘的」と称した定理を紹介します！！
こんにちは！
今回は、前回の記事と同じで、岡潔さんの著書「春宵十話」から紹介したい定理です。
ただ、証明は難しくて、できませんでした。
ネットで調べると、証明はあったのですが、ちょっと難しかったです(´；ω；`)ｳｩｩ
最後に参考文献で掲載しますので、興味のある方はそちらを参考にされてください。
最後まで読んでいただけるとうれしいです！！
１ 春宵十話から
日本の大数学者 岡潔さんは、著作「春宵十話」の中で、次のように述べられています。
読み残していたのが、十九世紀の英国の数学者、クリフォードのものを菊池大麓が訳した「数理釈義」だった。（中略）大分変わった本だったが、わからないところがおもしろくて読みふけった。その中で１つだけ非常に印象的なものがあった。それは「クリフォードの定理」で、（中略）これがいかにも神秘的に思えた。
この著作の中で、クリフォードの定理の紹介もされているのですが、ちょっと分かりにくいので、実際に作図しながら説明していきます。
２ クリフォードの定理（四直線の場合）
下の図１のように、互いに平行でない４本の直線は、４個の三角形（△ABC、△ADE、△CEF、△BDF）を作ります。
その４個の三角形の外接円（$${円_{△ABC}, 円_{△ADE}, 円_{CEF}, 円_{BDF}}$$）を作図します。
そうすると、４個の円は点Mで交わる。
３ クリフォードの定理（五直線の場合）
先ほどの図１に、もう一本直線$${l_5}$$を加えます。（図２）
なぜ急に作図しなくなったのかって？
それは、私が不器用で思うような作図ができなかったからです(´；ω；`)ｳｩｩ
次に、５本の直線の中から４直線を選びます。
そうすると、クリフォードの定理（四直線の場合）と同様に三角形が４個できて、外接円がある１点で交わります。
例えば、$${l_1, l_2, l_3, l_4}$$を選んだとします。
このとき、下の図３の赤い点で外接円は交わります。
５直線の中から４直線の選ぶ場合の数は、$${_5C_4=5}$$通りあります。
上で１通り示したので、残り４通りです。
・ $${l_1, l_2, l_3, l_5}$$を選んだ場合
・ $${l_1, l_3, l_4, l_5}$$を選んだ場合
・ $${l_1, l_2, l_4, l_5}$$を選んだ場合
・ $${l_2, l_3, l_4, l_5}$$を選んだ場合
ここからが神秘的です。
今、円が１つで交わる点が５個（それぞれの図の赤い点）できましたね。
実は、この５つの赤い点は、１つの円周上にあるのです！！
これ、すごくないですか！？
４ クリフォードの定理（六直線の場合）
では、六直線の場合です。
六直線から五直線を選ぶ場合の数は、$${_6C_5=6}$$通りです。
つまり、図８で見つけたような円が６個できます。
この６個の円はある１点で交わります。
５ クリフォードの定理（七直線の場合）
なんとなく規則性が見えてきたと思います。
七直線から六直線を選ぶ場合の数は、$${_7C_6=7}$$通りです。
つまり、図９で見つけた６個の円の共有点が６個できます。
この６個の点は、ある円の円周上にあります。
６ クリフォードの定理(n直線の場合)
これまで調べたことから、一般化します。
$${n}$$を4以上の整数とします。
$${n}$$が奇数の場合、$${n}$$直線から$${n-1}$$直線を選ぶ場合の数は、$${_nC_{n-1}}$$通りです。
その$${n-1}$$個の円の共有点が$${n-1}$$個できます。
この$${n-1}$$個の点は、ある円の円周上にあります。
$${n}$$が偶数の場合、$${n}$$直線から$${n-1}$$直線を選ぶ場合の数は、$${_nC_{n-1}}$$通りです。
上でしたような操作をして円が$${n}$$個できます。
この$${n}$$個の円は、ある1点で交わる。
７ おわりに
いかがでしたでしょうか。
クリフォードの定理は、
円が1点で交わる→交点がある円周上にある
を繰り返します。
これを無限に繰り返すところに、私は神秘さを感じました。
証明は、以下のサイトを参考にされてください。
https://mixedmoss.com/miscellaneous/clifford_theory_and_developements.pdf
最後まで読んでいただき、ありがとうございます！！
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