問題は解くだけで終わるともったいない！！
先日調子に乗って赤本を購入しました。
別に受験予定はありません（笑）
２０１７年度のセンター入試で、次のような問題があります。
※記事に合うように、若干記述を変えています。
$${x}$$は正の実数で、$${x^2+\frac{4}{x^2}=9}$$のとき、
$${x+\frac{2}{x}}$$、$${x^3+\frac{8}{x^3}}$$、$${x^4+\frac{16}{x^4}}$$の値を求めなさい。
もちろん、センター入試で実際に受験した学生にとって、この問題の正誤が最重要です。
ですが、私のような日曜数学者にとっては、問題の正誤は二の次です。
では、この問題からどんなことを考えたのか、記事にしてみたいと思います。
最後まで読んでいただけるとうれしいです！！
１ 問題の趣旨
私が考えるこの問題の趣旨は、
$${x^n+\frac{2^n}{x^n}}$$で、展開の公式を使って、$${n=1,3,4}$$の値を求める力を測る
ということだと思います。
$${x^n+\frac{2^n}{x^n}}$$で、センター入試は
$${n=4}$$で終わってますが、これを$${n=5,6,7,・・・}$$と増やしていくとき、値を求める過程の規則性はないのか。
これが私の考えた「問題」です。
２ 値を求める規則性はあるのか
$${x^2+\frac{4}{x^2}=9}$$は、すでに問題で与えられてます。
$${n=1}$$のとき、
$${(x+\frac{2}{x})^2-2×2=9}$$
$${n=3}$$のとき、
$${x^3+\frac{2^3}{x^3}}$$
$${=(x+\frac{2}{x})(x^2+\frac{2^2}{x^2})-2x-\frac{2^2}{x}}$$
$${=(x+\frac{2}{x})(x^2+\frac{2^2}{x^2})-2(x+\frac{2}{x})}$$
$${n=4}$$のとき、
$${x^4+\frac{2^4}{x^4}}$$
$${=(x^2+\frac{2^2}{x^2})^2-2×2^2}$$
$${=(x^2+\frac{2^2}{x^2})^2-2^3}$$
$${n=5}$$のとき、
$${x^5+\frac{2^5}{x^5}}$$
$${=(x^2+\frac{2^2}{x^2})(x^3+\frac{2^3}{x^3})-2^2(x+\frac{2}{x})}$$
$${n=6}$$のとき、
$${x^6+\frac{2^6}{x^6}}$$
$${=(x^3+\frac{2^3}{x^3})^2-2×2^3}$$
$${=(x^3+\frac{2^3}{x^3})^2-2^4}$$
$${n=7}$$のとき、
$${x^7+\frac{2^7}{x^7}}$$
$${=(x^3+\frac{2^3}{x^3})(x^4+\frac{2^4}{x^4})-2^3(x+\frac{2}{x})}$$
$${n=8}$$のとき、
$${x^8+\frac{2^8}{x^8}}$$
$${=(x^4+\frac{2^4}{x^4})^2-2×2^4}$$
$${=(x^4+\frac{2^4}{x^4})^2-2^5}$$
これを$${n}$$の値を奇数と偶数に分けてみる。
こう見ると、値を求める過程の規則性は、このように表現できます。
$${n}$$が偶数のとき、（$${n=2k}$$のとき、ただし$${ 1\leqq k}$$）
$${x^{2k}+\frac{2^{2k}}{x^{2k}}}$$
$${=(x^k+\frac{2^k}{x^k})^2-2^{k+1}}$$
$${n}$$が偶数のとき、（$${n=2k}$$のとき、ただし$${ 1\leqq k}$$）
$${x^{2k+1}+\frac{2^{2k+1}}{x^{2k+1}}}$$
$${=(x^k+\frac{2^k}{x^k})(x^{k+1}+\frac{2^{k+1}}{x^{k+1}})-2^k(x+\frac{2}{x})}$$
３ 問題を作り変えるよさ
問題を作り変えるということは、問題を作るということです。
問題は解くだけではなく、作ることで、新しい発見があるかもしれません。
ちなみにこの記事で書いたことでは、
$${x^n+\frac{2^n}{x^n}}$$の値は、$${n-1}$$以下の値を利用すれば計算量を減らして求められる。
コンピュータにプログラムすれば、コンピュータの計算量を減らせる可能性がある。
という知見が得られます。
問題を作り変えた有名なものでは、
三平方の定理
$${a^2+b^2=c^2}$$
の「２」を３以上にすると、この等式を満たす$${a,b,c}$$の自然数の組は存在しない
という、フェルマーの最終定理があります。
このように問題を作り変えることは、学問を長生きさせることだってある、大事なことです。
以前、このようなつぶやきもさせていただきました。
最後まで読んでいただき、ありがとうございました！！
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか？