多変量正規分布の条件付き分布の求め方

本記事を書くことになったきっかけ

統計検定準１級 2021年6月試験 問３で，3変量正規分布に従う確率変数に対して2変数の条件付き期待値・条件付き分散を求める問いがあり，勉強になったことが多かったため，覚書的に記しておきます．
何か間違いがあればご指摘ください．

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解決したい問題

$${\begin{bmatrix} X\\ Y\\Z\end{bmatrix}}$$を次の3変量正規分布に従う確率ベクトルとする．

$$
N_3\left(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}2&0&1\\0&3&2\\1&2&4\end{pmatrix}\right)
$$

$${X=x}$$と$${Y=y}$$を与えたときの$${Z}$$の条件付き分布を求めよ．

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定理(多変量正規分布の条件付き分布)

$${\bm{X} \sim N_D (\bm{\mu}, \Sigma)}$$のとき，

$$
\bm{X}_1 \mid (\bm{X}_2 = \bm{x}_2) \sim N_{D_1} (\bm{\mu}_1 + \Sigma_{12}\Sigma^{-1}_{22} (\bm{x}_2 - \bm{\mu}_2),\ \Sigma_{11\mid2})
$$

である．ただし，次のように各変数を$${D_1}$$次元の部分と$${D_2:=D-D_1}$$次元の部分に分割した:

$$
\bm{X}=\begin{bmatrix} \bm{X}_1 \\ \bm{X}_2 \end{bmatrix},\ \bm{\mu} =\begin{bmatrix} \bm{\mu}_1 \\ \bm{\mu}_2 \end{bmatrix},\ \Sigma =\begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{bmatrix}.
$$

さらに，

$$
\Sigma_{11\mid2} = \Sigma_{11} - \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}
$$

とおいた．
証明はこちらを参照されたい．

定理に当てはめてみる

定理のNotationについて，

$$
\bm{X}_1=(X\ Y)^T,\ \bm{X}_2=Z, \bm{\mu}_1 = (1\ 2)^T,\ \bm{\mu}_2 = 3,\\
\Sigma_{11}=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix},\ \Sigma_{12}=(1\ 2)^T,\ \Sigma_{21}=(1\ 2),\ \Sigma_{22}=4
$$

とすればよい．よって，

$$
\begin{align*}
\mathbb{E}[Z\mid X=x,\ Y=y]&=\bm{\mu}_2 + \Sigma_{21}\Sigma^{-1}_{11} (\bm{x}_1 - \bm{\mu}_1)\\
&=3+(1\ 2)\cdot\frac{1}{6}\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x-1\\y-2\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y + \frac{7}{6},\\
V[Z\mid X=x,\ Y=y]&=\Sigma_{22} - \Sigma_{21}\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12}\\
&=4-(1\ 2)\cdot\frac{1}{6}\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\\
&=\frac{13}{6}.
\end{align*}
$$

つまり

$$
Z\mid (X=x,\ Y=y)\sim N\left(\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y + \frac{7}{6},\ \frac{13}{6} \right)
$$

となる．//