【桜陰中学校2021年度入試算数第3問】グラフの読み取りに見せかけた、方程式の問題

桜陰の第3問はグラフの問題に見えますが、グラフそのものはあまり重要な役目を果たしていません。むしろ、未知の数をどのように求めるかを問う問題です。

桜蔭中学校・高等学校
2007年10月22日、杉山真大撮影、Wikipediaより

問題

底面が1辺35cmの正方形で，高さが150cmの直方体の容器の中に1辺10cmの立方体12個を下から何個かずつ積みます。立方体を積むときは，図のように上と下の立方体の面と面，同じ段でとなり合う立方体の面と面をそれぞれぴったり重ね，すきまなく，横にはみ出さないようにします。

積んだあと，この容器に一定の速さで水を入れていきます。

立方体は水を入れても動きません。積んだ立方体の上の面まで水が入ると水は止まります。下の表は下(原文は右)の図の立方体の積み方を表していて，このとき水をいれはじめてからの時間と水面の高さの関係は下のグラフのようになりました。

(1) 毎分何cm3の水を入れていますか。

(2) グラフの(　　　)にあてはまる数を答えなさい。

(3) 立方体の積み方を変えてもっと短い時間で水が止まるようにします。そのときにかかる時間は何分ですか。また，その場合の立方体の積み方をすべてかきなさい。解答らんは全部使うとは限りません。

(4) 水が止まるまでの時間が19.7分になる場合の立方体の積み方のうち，1段目の個数が多いほうから4番目のものをすべてかきなさい。解答らんは全部使うとは限りません。

(2) の(　　　)はグラフの時間軸上になる白い四角です。

解答解説

最初に容器の底面積を求めておくと、35 × 35 = 1225cm2 となります。

(1) は容器に入れられた水の量を計算できれば終わりです。高さ 70cm なので、水の量は 1225 × 70 - 1000 × 12 = 85750 - 12000 = 73750 cm3 となります。これを 29.5 分で入れたので、水を入れる速さは毎分 73750 ÷ 29.5 = 2500cm3となります。

(2) は入れられた水の量が 1225 × 50 - 1000 × 10 なので、時間は (1225 × 50 - 1000 × 10)/2500 = (1225 - 200)/50 = 24.5 - 4 = 20.5分となります。

(3) は、もっとも短い時間で水が止まる＝立方体を積む高さがもっとも低い、ということです。1段に9個までしか立方体を置けないので、最も低く立方体を積むときの高さは2段となります。2段で積む積み方は(9,3,0,0,0,0,0,0), (8,4,0,0,0,0,0,0), (7,5,0,0,0,0,0,0), (6,6,0,0,0,0,0,0) の4通りです。水を入れる時間は、(1225 × 20 - 1000 × 12)/2500 = (490 - 240)/50 = 5分となります。

(注) 表を書いて画像を貼るのが面倒なので、表の代わりに(9,3,0,0,0,0,0,0)のように表すことにしました。左から1段目、2段目、…と解釈してください。

(4) は、水を入れた時間から高さを求める問題です。高さは、水の量＋積み木の体積を底面積で割ればいいので、(2500 × 19.7 + 1000 × 12)/1225 = (1970 + 480)/49 = 2450/49 = 50cm となります。

ということで、5段で立方体を積めばいいのですが、1段目の個数が最も多いのは 12 - 4 = 8個であるので、1段目の個数が多いほうから4番目は5個となります。残り7個の立方体をちょうど4段で積めばいいので、(5,4,1,1,1,0,0,0), (5,3,2,1,1,0,0,0), (5,2,2,2,1,0,0,0) の3通りとなります。

感想

前問と違って単純な問題で、あまり時間をかけたくない、桜陰の受験生であれば難なく解いて欲しい問題です。

1枚目の問題がどちらも時間がかかりそうなので、この問題を解くにあたって焦っていなければいいのですが…

ところで、(3) のところで1段に入れることができる立方体の最大数が9としていますが、これが正しいことは明らかではありません。

普通に入れようとしたときには、35cm × 35cm の正方形に 10cm × 10cm の正方形を入れようとすると 35 ÷ 10 = 3 … 5 ということで、3 × 3 = 9 個が限界に思えます。

しかし、問題文では35cm × 35cm の正方形に対して 10cm × 10cm の正方形を斜めに入れることを排除(はいじょ)していません。

問題文をよく読んでみてください。10cm × 10cm の正方形どうしの位置関係を指定しているだけで、 35cm × 35cm の正方形と 10cm × 10cm の正方形の位置関係を指定していません。

このことを議論しようとすると数学になってしまい、その意味で不用意な出題と言わざるを得ないでしょう。その点は残念です。