【ラ・サール中学校2021年度入試算数第6問】年に関連した数え上げ問題

いよいよラ・サール中学校の入試問題も最後です。2021に関連した数え上げ問題です。

ラ・サール中学校・高等学校
2010年7月22日、 Sakoppi撮影、Wikipediaより

問題

1 から A までの整数を左から小さい順に並べます。これらをつなげてひとつの長い数字の列を作りました。
　　　123456789101112…
次のとき 2021 という数字の並びは何回あらわれますか。(16点)

(1) A = 99
(2) A = 9999
(3) A = 99999

解答解説

最初に確認しておきたいことは、0 は最上位桁になることができないので、ある整数の下1桁が 2 で、そのあとに 021 が続くということはあり得ません。

よって、複数の整数で 2021 が構成される場合、20 と 21 もしくは 202 と 1 という組み合わせになります。

(1) は、整数は全て2桁以下なので、202 と 1 という組み合わせはあり得ず、整数 20 と 21 の部分のみとなるので、あらわれるのは1回です。

(2) まず3桁の整数で 2021 となる場合があるかを考えます。
・20 と 21 の組合せ：3桁の数字の場合、前の整数は◎20という形なので、次の整数は◎21 でなければならず、4つの数の組合せは 20◎2 という形になり、最後が 1 ではなく 2 となりあり得ない。
・202 と 1 の組合せ：3桁の数字の場合、前の整数は 202 となるので、次の整数は 203 であり、4つの数の組合せは 2022 で 2021 にはならない。

ということで、3桁の整数で 2021 となる場合は存在しない。

では、4桁の整数の場合はというと、
・20 と 21 の組合せ：2120 と 2121
・202 と 1 の組合せ：1202 と 1203
・単独で 2021 を含む：2021
の3通りが存在します。これと (1) を加えて 4通り となります。

(3) 五桁の整数について考えていきます。考え方は (2) と同様です。
・20 と 21 の組合せ：21◎20 と 21◎21 という組合せ(◎は 0 ～ 9 の10通り)
・202 と 1 の組合せ：1◎202 と 1◎203 という組合せ(◎は 0 ～ 9 の10通り)
・単独で2021を含む：●2021、2021◎(●は1 ～ 9 の9通り、◎は 0 ～ 9 の10通り)

以上から 5桁の数字では 39通りあります。よって、(2) の4通りを加えて、39 + 4 = 43 通りとなります。

感想

上ではかなり丁寧に書いていますが、実際にはメモ程度の書き方で解いています。あまりきちんと書きすぎると時間がかかるので、効率よく求めるよう練習するといいでしょう。

問題そのものは、ちょっと数え忘れをしそうで怖いところですが、決して難しい問題ではないので、焦らず丁寧に、でも時間をかけすぎずに、という感じで、速く正確に解くことを大切にして欲しいです。