【北海道大学2016年度入試数学(文系)第4問】整数問題の対策の前に

このところは入試チャレンジと題して月金に投稿しておりますが、基本的に毎月1日に投稿している大学入試数学。

しかし、それだと取り上げることのできる問題数に限りがありますので、たまには不規則にやさしめの問題を取り上げたいと思います。今までもさほど難しい問題はありませんでしたが。

言い訳をすると、問題を解くのはさほど時間がかからないのですが、図を描いたり数式を書くのを含めて文章にするのに時間がかかるため、毎週となると難しいところがあります。問題の選定にも時間がかかりますし。

今回は北海道大学2016年度前期入試の数学(文系)第4問です。整数問題です。

北海道大学農学部
2008年11月28日、T DMY撮影、Wikipediaより

[問題] x, y を自然数とする．
(1) 3x / (x^2 + 2) が自然数であるような x をすべて求めよ．
(2) 3x / (x^2 + 2) + (1/y) が自然数であるような組 (x, y) をすべて求めよ．

この問題は確かに整数問題ではあるのですが、その前に気が付いて欲しいことが一つあります。

それは、3x / (x^2 + 2) は分子が 3x と一次式、分母が x^2 + 2 と二次式、ということで、一般には分母の方が絶対値が大きくなるということです。x が大きくなるにつれて分数の値は 0 に近づきます。

そうすると、(1) を満たす x は小さい値に限られます。

また、3x / (x^2 + 2) + (1/y) について考えると、y = 1 となるのは (1) の x に対してのみですので、それ以外の x に対しては y ≧ 2 について考えればいい訳ですが、このとき 1/y ≦ 1/2 となるので、3x / (x^2 + 2) < 1/2 である x については条件を満たさないことになります。

ということは、先ほどの事実から (2) を満たす x も小さい値に限られます。

それを念頭において考えておけばいいでしょう。

ここでは (2) のみを解答しますが、それで (1) の解答も終わっています。(y = 1 である x を取り出せばいいだけですので。)

[(2)の解答] まず、x ≧ 6 においては条件を満たさないことを示す。

x > 0 であるので、3x / (x^2 + 2) = 3 / (x + (2/x)) と書くことができるが、x ≧ 6 のとき x + (2/x) > 6 であるので、0 < x/ (x^2 + 2) < 1/2 となる。
・y = 1 のとき、1 < 3x / (x^2 + 2) + (1/y) < 3/2 < 2 であるので 3x / (x^2 + 2) + (1/y) は整数にならない。
・y ≧ 2 のとき、0 < 1/y ≦ 1/2 であるので 0 < 3x / (x^2 + 2) + (1/y) < 1 となり 3x / (x^2 + 2) + (1/y) は整数にならない。
以上のことから、x ≧ 6 のときには 3x / (x^2 + 2) + (1/y) が整数になることはない。

次に 1 ≦ x ≦ 5 のときについて考える。

0 < 1/y ≦ 1 であるので、3x / (x^2 + 2) + (1/y) が整数になるときにその値は [3x / (x^2 + 2)] + 1 である。ここで、実数z に対して [z] は z を超えない最大の整数である。
・x = 1 のとき 3x / (x^2 + 2) = 3/3 = 1 であるので、1 + 1 = 1 + 1/y すなわち y = 1 である。よって、(x, y) = (1, 1) が条件を満たす。
・x = 2 のとき 3x / (x^2 + 2) = 6/6 = 1 であるので、1 + 1 = 1 + 1/y すなわち y = 1 である。よって、(x, y) = (2, 1) が条件を満たす。
・x = 3 のとき 3x / (x^2 + 2) = 9/11 であるので、0 + 1 = 9/11 + 1/y を満たす必要があるが、このとき y = 11/2 となり y は整数ではないので、条件を満たさない。
・x = 4 のとき 3x / (x^2 + 2) = 12/18 = 2/3 であるので、0 + 1 = 2/3 + 1/y を満たす必要があり、このとき y = 3 であるので、(x, y) = (4, 3) が条件を満たす。
・x = 5 のとき 3x / (x^2 + 2) = 15/27 = 5/9 であるので、0 + 1 = 5/9 + 1/y を満たす必要があるが、y = 9/4 となり y は整数ではないので、条件を満たさない。

以上のことから、(x, y) = (1, 1), (2, 1), (4, 3) である。

(注) このことから (1) の答えは x = 1, 2 である。　　[解答終]

この問題は整数問題と分類したものの、ほとんど整数の性質を使っておらず、整式に関する基本的な知識のみを使って解決しています。

整数問題にはもちろん、余りを考えたり、積の形に変形するなどの固有のテクニックはありますが、一般に使われる知識がまず土台にあることを知るべきです。

今回の問題であれば2次式と1次式の大小関係をまず論じていて、それは整数問題とは一切関係ありません。

そういう普通のこと、汎用性の高い知識をちゃんと把握することを抜きにして固有のテクニックを覚えても、使う機会なく終わる危険性が高いです。

対策を取るときは優先順位を間違いないようにしましょう。