[ 数学 ] 3 より大きな素数 p について，p² を12で割ったときの余りを求めよ | 弘前大学
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問題
3 より大きな素数 p について，p² を12で割ったときの余りを求めよ。
準備部分
3より大きい素数は、3で割り切れません。
12は3と4の最小公倍数なので、12で割った余りを考えることは、3で割った余りと4で割った余りを同時に考えることと同じです。
証明部分
3より大きい素数は、3で割り切れないので、$${3m+1}$$ または $${3m+2}$$ (mは整数)の形で表すことができます。
(例)
13は素数で、$${13 = 3×4 + 1}$$ と表せるので、3で割ると1余ります。
17は素数で、$${17 = 3×5 + 2}$$ と表せるので、3で割ると2余ります。
3で割る場合
$${(3m+1)^2 = 9m^2 + 6m + 1 = 3(3m^2 + 2m) + 1}$$
3で括弧でくくった部分は整数なので、$${(3m+1)^2}$$を3で割ると1余ります。
$${(3m+2)^2 = 9m^2 + 12m + 4 = 3(3m^2 + 4m + 1) + 1}$$
3で括弧でくくった部分は整数なので、$${(3m+2)^2}$$を3で割ると1余ります。
4で割る場合
pは奇数なので、$${p^2}$$も奇数になります。
(例) 奇数には、$${1, 3, 5, 7, \cdos}$$ のように、1を足すと4の倍数になる数と、3を足すと4の倍数になる数があります。よって、奇数を4で割ると、余りは1か3になります。
3で割ると必ず1余り、4で割ると1または3余るので、3と4の最小公倍数である12で割ると、必ず1余ります。
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