★5/複素数平面 北海道大学

問題

$${0}$$でない複素数$${z}$$に対して複素数$${w}$$を
$${w=z^2-\dfrac{1}{z^2}}$$
とおく。このとき、$${w}$$の実部が正の範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答

$${z=r(cosθ+isinθ)}$$とする。$${(r＞0)}$$

$$
\begin{split}
z^2&=r^2(cos2θ+isin2θ)\\
\dfrac{1}{z^2}&=\dfrac{1}{r^2}(cos(-2θ)+isin2(-2θ))\\
&=\dfrac{1}{r^2}(cos2θ-isin2θ)\\
w&=z^2-\dfrac{1}{z^2}\\
&=r^2(cos2θ+isin2θ)-\dfrac{1}{r^2}(cos2θ-isin2θ)\\
&=\Bigl(r^2-\dfrac{1}{r^2}\Bigl)cos2θ＋i\Bigl(r^2+\dfrac{1}{r^2}\Bigl)sin2θ\\
\end{split}
$$

実部は$${\Bigl(r^2-\dfrac{1}{r^2}\Bigl)cos2θ}$$であるから、これが正になる条件を考える。

(Ⅰ)
$${r^2-\dfrac{1}{r^2}＞0}$$かつ$${cos2θ>0}$$のとき、

$$
\begin{array}{cl}
&r^2-\dfrac{1}{r^2}>0\\
\\
\Leftrightarrow&\dfrac{r^4-1}{r^2}>0\\
\\
\Leftrightarrow&\dfrac{(r^2+1)(r+1)(r-1)}{r^2}>0\\
\end{array}
$$

$${r^2+1,r^2,r+1}$$は$${r>0}$$より正なので、$${r-1>0\Leftrightarrow r>1…①}$$

$$
\begin{array}{cl}
&cos2θ>0\\
\Leftrightarrow& -\dfrac{π}{4}<θ<\dfrac{π}{4}, \dfrac{3}{4}π<θ<\dfrac{5}{4}π…②
\end{array}
$$

①、②より

$$
\begin{cases}
r>1\\
-\dfrac{π}{4}<θ<\dfrac{π}{4}, \dfrac{3}{4}π<θ<\dfrac{5}{4}π\\
\end{cases}
$$

(Ⅱ)
$${r^2-\dfrac{1}{r^2}<0}$$かつ$${cos2θ<0}$$のとき、(Ⅰ)の範囲と逆になるだけなので

$$
\begin{cases}
0<r<1\\
\dfrac{π}{4}<θ<\dfrac{3}{4}π, \dfrac{5}{4}π<θ<\dfrac{7}{4}π\\
\end{cases}
$$

以上より

となる。

総評

複素数平面とその領域に関する標準的な問題です。難易度の割に踏むステップ数が少し多いので練習には最適ですね。