証明募集（補足1:組合せ的な意味）

組合せ的な解釈

前回の記事の(1)式（の各項）は、例えば下記のように組合せ的に解釈できます。
0からn-1までの整数の集合$${\{0,\ldots ,n-1\}}$$を、$${[n]}$$と書くことにします。
$${[n]}$$の長さ$${k}$$の部分集合の列

$$
\emptyset =J_0\subsetneq J_1 \subsetneq \cdots \subsetneq J_{k-1} \subsetneq  J_k=[n]
$$

の個数を$${c_k}$$と書き、$${c_k}$$を表す式を考えます。
$${J_i\setminus J_{i-1}}$$の要素数を$${l_i}$$とします。（$${i=1,\ldots ,k}$$）
つまり、$${J_1}$$の要素は$${l_1}$$個、$${J_2}$$の要素は$${l_2}$$個増えて$${l_1+l_2}$$個、、、という具合です。
$${J_k=[n]}$$なので、$${l_1+\cdots +l_k=n}$$となります。
いったん、$${l_1,\ldots ,l_k}$$を固定して考えます。
まず$${J_1}$$の選び方は$${\begin{pmatrix} n \\ l_1 \end{pmatrix}}$$通りあります。
次に$${J_2}$$の選び方は、$${J_1}$$に追加する数を$${l_2}$$個選べばよいので、$${\begin{pmatrix} n-l_1 \\ l_2 \end{pmatrix}}$$通りあります。
以下同様に、$${J_i}$$の選び方は$${\begin{pmatrix} n-l_1-\cdots - l_{i-1} \\ l_i \end{pmatrix}}$$通りあります。
したがって、$${l_1,\ldots ,l_k}$$を固定したときの

$$
\emptyset = J_0\subsetneq J_1\subsetneq \cdots \subsetneq J_k=[n]
$$

の選び方は、

$$
\prod_{i=1}^k\begin{pmatrix} n-l_1-\cdots - l_{i-1} \\ l_i \end{pmatrix}=\frac{n!}{l_!\cdots l_k!}
$$

となります。
したがって、これを$${l_1+\cdots +l_k=n　(l_1,\ldots,l_k\geq 1)}$$となる全ての$${l_1,\ldots ,l_k}$$について和をとることで、

$$
c_k=\sum_{\substack{l_1+\cdots +l_k=n\\l_1,\ldots ,l_k\geq 1 }}\frac{n!}{l_1! \cdots l_k!}
$$

であることがわかります。
つまり、(1)式は$${c_k}$$の交代和が$${(-1)^n}$$である、ということになります。
これを反映した形で(1)式を書き直すと、

$$
\sum _{k=1}^n\sum_{\emptyset = J_0\subsetneq J_1\subsetneq \cdots \subsetneq J_k=[n]}(-1)^k=(-1)^n \cdots (2)
$$

あるいは、

$$
\sum _{k=1}^n(-1)^kc_k=(-1)^n  \cdots (3)
$$

となります。