証明募集（証明1:味覚クリティカルさん）

はじめに

以前こちらの記事である恒等式の証明を募集したところ、味覚クリティカル @1806_04679 さんが一瞬で証明をつけてくれました。
その証明（ポストはこちら）を紹介します。
そういう方法があるのか！と思う面白い証明でした。
上のリンクのツイートは誤植があるように思うので、一部オリジナルと異なる式としています。間違えていたらすみません。

証明

こちらの記事の(1)式の左辺を$${n!A_n}$$と書くことにします。
そして、$${A_n}$$を係数に持つ形式的ベキ級数$${\sum _{n=1}^{\infty }A_n X^n}$$を考えます。
これを以下のように変形すると…。

$$
\begin{align*}
\sum _{n=1}^{\infty }A_n X^n & = \sum_{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^n \sum_{\substack{l_1+\cdots +l_k=n\\l_1,\ldots ,l_k\geq 1 }}\frac{(-1)^k}{l_1! \cdots l_k!} X^n\\
& = \sum_{k=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty } \sum_{\substack{l_1+\cdots +l_k=m+k\\l_1,\ldots ,l_k\geq 1 }}\frac{(-1)^k}{l_1! \cdots l_k!} X^{m+k}\\
& = \sum_{k=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty } \sum_{\substack{c_1+\cdots +c_k=m\\c_1,\ldots ,c_k\geq 0 }}\frac{(-1)^k}{(c_1+1)! \cdots (c_k+1)!}X^{m+k}\\
& = \sum_{k=1}^{\infty }\sum_{\substack{c_1+\cdots +c_k\geq 0\\c_1,\ldots ,c_k\geq 0 }}\frac{(-1)^k}{(c_1+1)! \cdots (c_k+1)!} X^{c_1+\cdots +c_k+k}\\
& = \sum_{k=1}^{\infty }(-1)^k\left(\sum_{c_1=0}^{\infty }\frac{1}{(c_1+1)!}X^{c_1+1}\right) \cdots \left(\sum_{c_k=0}^{\infty }\frac{1}{(c_k+1)!}X^{c_k+1}\right)\\
& = \sum_{k=1}^{\infty }(-1)^k(e^X-1)^k\\
& = \frac{1}{1+(e^X-1)}-1\\
& = e^{-X}-1\\
& = \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!}X^n\\ 
\end{align*}
$$

となるので、両辺の係数を比較して$${n!A_n=(-1)^n}$$となり、(1)式が示されました。

感想

(1)式を示すために、1つ$${n}$$を固定して考えるのではなく、母関数のようなベキ級数を考えて、その係数比較をするという方法が面白かったです。
そうすることで、1つの$${n}$$を考えているだけでは簡単に変形できない$${\frac{1}{l_1!}}$$などの和が指数関数になってくれて、扱いやすくなるんですね。
味覚クリティカル @1806_04679 さん、ありがとうございました！