証明募集（証明3:Oddieさん）

はじめに

こちらの記事で証明を募集した恒等式について、非常に簡潔な証明をOddie @math_elliptic さんからいただきました。
非常に短いです！（元ポストはこちら）
その証明を、ほぼそのままですが、紹介します。

証明

多項定理

$$
(x_1+\cdots +x_m)^n=\sum_{\substack{l_1+\cdots +l_m=n\\l_1,\ldots ,l_m\geq 0 }}\frac{n!}{l_1! \cdots l_m!}x_1^{l_1}\cdots x_m^{l_m}
$$

において$${x_1,\ldots ,x_m=1}$$として、$${l_1,\ldots ,l_m}$$のうち1以上となるものの個数で場合分けすると、次の式を得る。

$$
\sum _{k=1}^n\sum_{\substack{l_1+\cdots +l_k=n\\l_1,\ldots ,l_k\geq 1 }}\begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix}\frac{n!}{l_1! \cdots l_k!}=m^n.
$$

ここで、$${\begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix}=\frac{m(m-1)\cdots (m-k+1)}{k!}}$$なので、両辺は$${m}$$の多項式である。
そして、任意の$${m\geq 0}$$について等式が成立するので、この両辺は$${m}$$についての多項式として等しい。
したがって、$${\begin{pmatrix} x \\ k \end{pmatrix}:=\frac{x(x-1)\cdots (x-k+1)}{k!}}$$とおくと、多項式として次の等式が成り立つ。

$$
\sum _{k=1}^n\sum_{\substack{l_1+\cdots +l_k=n\\l_1,\ldots ,l_k\geq 1 }}\begin{pmatrix} x \\ k \end{pmatrix}\frac{n!}{l_1! \cdots l_k!}=x^n.
$$

ここで$${x=-1}$$とすると、(1)式が得られる。

感想

多項定理に特殊な値を代入して得られた恒等式が、実は多項式としての等式で、その変数に負の値を代入することで示される、という流れがとても面白かったです。
また、(1)式と多項定理に関係がありそうだという疑問にも見事に答えを与えていただき、大満足です。
ありがとうございました！