お風呂の温度と算数っぽい問題

銭湯でお湯に浸かりながら考えていた問題です。

Q. ぬるくなって30℃になった150Lのお風呂がある。50℃のお湯を30L/分でいれる。同時に風呂の栓を抜いて20L/分で抜けていくとする。満杯の200Lになるとき、お風呂の温度は何度？

注: 風呂の外への熱の出入りはないとする。お風呂の温度は常に平衡で均一。

• 温度 T₀→T₁ [℃]

• 体積 V₀→V₁ [L]

• お湯の温度 H [℃]

• お湯の追加量A [L/分]

• お風呂の減少量 B [L/分]

このとき、時刻t[分]にお風呂は次のようになる。

• 体積 V = V0 + (A-B)t [L]

• 温度 T [℃]

• 熱量 VT [℃・L]

• 増加熱量 HA [℃・L/分]

• 流出熱量 TB [℃・L/分]

よって、熱量の時間変化が d/dt (VT) = HA - TBとなる。 

ちまちまと計算します。
全微分 (V₀+(A-B)t) dT/dt + (A-B)T = HA - TB
変数分離 1/(HA - TA) dT/dt = 1/(V₀+(A-B)t)
両辺を積分 -1/A log|HA-TA|  = 1/(A-B) log|V₀+(A-B)t| + C
両辺にexpをつける HA-TA  = exp(-A/(A-B) log|V₀+(A-B)t| + C)
Tを求めるT = H - 1/A exp(-A/(A-B) log|V₀+(A-B)t| + C)
初期状態のとき -1/A log|HA-T₀A|  = 1/(A-B) log|V₀| + C
積分定数は C = -log|HA-T₀A|/A - log|V₀|/(A-B)
最終的にいろいろ式を揃えて
T = H - V₀^(A/A-B) * (V₀ + (A-B) t)^-(A/A-B) * (H - T₀)

風呂が一杯になったとき、時刻t = (V₁-V₀)/(A-B)なので、
α=A/(A-B)とおいて
T₁ = H - V₀^α V₁^-α (H-T₀)
となります。シンプルですね。

定数を入れてみると、
T₁ = 50 - 150^3 200^-3 (50 - 30) ≒ 41.6 [℃]
いい湯加減でした。